問題は3つの部分に分かれています。 * 問題6.1：点 $(2\sqrt{2}, 1)$ における曲線 $\frac{x^2}{2^2} - y^2 = 1$ の接線の方程式を求めます。 * 問題6.2：曲線 $c(t) = \begin{bmatrix} 2/\cos t \\ \tan t \end{bmatrix}$ ($t \in \mathbb{R}$) の $t = \frac{\pi}{4}$ における接線のパラメータ表示を求めます。 * 問題6.3：与えられたxy平面上の点Pの極座標 $(r, \theta)$ を求めます。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求めます。 * (1) $(\sqrt{3}, 1)$ * (2) $(-1, -1)$ * (3) $(-1, 3)$

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

問題は3つの部分に分かれています。

* 問題6.1：点 $(2\sqrt{2}, 1)$ における曲線 $\frac{x^2}{2^2} - y^2 = 1$ の接線の方程式を求めます。

* 問題6.2：曲線 $c(t) = \begin{bmatrix} 2/\cos t \\ \tan t \end{bmatrix}$ ($t \in \mathbb{R}$) の $t = \frac{\pi}{4}$ における接線のパラメータ表示を求めます。

* 問題6.3：与えられたxy平面上の点Pの極座標 $(r, \theta)$ を求めます。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求めます。

* (1) $(\sqrt{3}, 1)$

* (2) $(-1, -1)$

* (3) $(-1, 3)$

2. 解き方の手順

* 問題6.1：

1. 曲線の方程式を $f(x, y) = \frac{x^2}{4} - y^2 - 1 = 0$ とします。

2. 偏微分を計算します。

* $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{2}$

* $\frac{\partial f}{\partial y} = -2y$

3. 点 $(2\sqrt{2}, 1)$ での偏微分の値を計算します。

* $\frac{\partial f}{\partial x}(2\sqrt{2}, 1) = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

* $\frac{\partial f}{\partial y}(2\sqrt{2}, 1) = -2(1) = -2$

4. 接線の方程式は次のようになります。

$\sqrt{2}(x - 2\sqrt{2}) - 2(y - 1) = 0$

5. 整理します。

$\sqrt{2}x - 4 - 2y + 2 = 0$

$\sqrt{2}x - 2y - 2 = 0$

$\sqrt{2}x - 2y = 2$

* 問題6.2：

1. $c(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/\cos t \\ \tan t \end{bmatrix}$

2. $x'(t) = \frac{2\sin t}{\cos^2 t}$ と $y'(t) = \frac{1}{\cos^2 t}$ を計算します。

3. $t = \frac{\pi}{4}$ における微分係数を計算します。

* $x'(\frac{\pi}{4}) = \frac{2(\frac{1}{\sqrt{2}})}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$

* $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

4. $t = \frac{\pi}{4}$ のときの点の座標を計算します。

* $x(\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\cos(\frac{\pi}{4})} = \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2\sqrt{2}$

* $y(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

5. 接線のパラメータ表示は次のようになります。

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix} + s\begin{bmatrix} 2\sqrt{2} \\ 2 \end{bmatrix}$, where $s \in \mathbb{R}$

* 問題6.3：

1. 極座標 $(r, \theta)$ は、直交座標 $(x, y)$ に対して $x = r\cos\theta$ と $y = r\sin\theta$ の関係があります。また、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ です。

2. (1) $(\sqrt{3}, 1)$ の場合：

* $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

* $\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}$

* 極座標は $(2, \frac{\pi}{6})$ です。

3. (2) $(-1, -1)$ の場合：

* $r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

* $\tan\theta = \frac{-1}{-1} = 1$ より、$\theta = \frac{5\pi}{4}$ （第3象限なので）

* 極座標は $(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})$ です。

4. (3) $(-1, 3)$ の場合：

* $r = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

* $\tan\theta = \frac{3}{-1} = -3$ より、$\theta = \arctan(-3) + \pi$ (第2象限なので)

* 極座標は $(\sqrt{10}, \arctan(-3) + \pi)$ です。

3. 最終的な答え

* 問題6.1：$\sqrt{2}x - 2y = 2$

* 問題6.2：$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \end{bmatrix} + s\begin{bmatrix} 2\sqrt{2} \\ 2 \end{bmatrix}$, $s \in \mathbb{R}$

* 問題6.3：

* (1) $(2, \frac{\pi}{6})$

* (2) $(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})$

* (3) $(\sqrt{10}, \arctan(-3) + \pi)$