$\lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{x - 1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{x - 1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x-1 = t$ とおくと、$x = t+1$ となり、$x \to 1$ のとき、$t \to 0$ となる。よって、与えられた極限は次のように書き換えられる。

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi(t+1))}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t + \pi)}{t}$

ここで、三角関数の加法定理 $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ を用いると、

$\sin(\pi t + \pi) = \sin(\pi t) \cos(\pi) + \cos(\pi t) \sin(\pi) = \sin(\pi t) \cdot (-1) + \cos(\pi t) \cdot 0 = -\sin(\pi t)$

よって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi(t+1))}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(\pi t)}{t} = -\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{t}$

ここで、$\theta = \pi t$ とおくと、$t = \frac{\theta}{\pi}$ となり、$t \to 0$ のとき、$\theta \to 0$ となる。よって、

$-\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi t)}{t} = -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\frac{\theta}{\pi}} = -\lim_{\theta \to 0} \frac{\pi \sin \theta}{\theta} = -\pi \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ であるから、

$-\pi \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = -\pi \cdot 1 = -\pi$

3. 最終的な答え

$-\pi$