与えられた3つの極限値を計算する問題です。 (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{(-2)^n}{4^n - (-3)^n}$ (5) $\lim_{n \to \infty} (5^n - 4^n)$ (6) $\lim_{n \to \infty} ((-2)^n - 2^{2n})$

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を計算する問題です。

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{(-2)^n}{4^n - (-3)^n}$

(5) $\lim_{n \to \infty} (5^n - 4^n)$

(6) $\lim_{n \to \infty} ((-2)^n - 2^{2n})$

2. 解き方の手順

(4) 分母の絶対値の大きい項で分子と分母を割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{(-2)^n}{4^n - (-3)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-2/4)^n}{1 - (-3/4)^n}$

$n \to \infty$ のとき、 $(-2/4)^n = (-1/2)^n \to 0$、 $(-3/4)^n \to 0$ となるため、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(-2/4)^n}{1 - (-3/4)^n} = \frac{0}{1 - 0} = 0$

(5) 大きい項$5^n$で括ります。

$\lim_{n \to \infty} (5^n - 4^n) = \lim_{n \to \infty} 5^n (1 - (4/5)^n)$

$n \to \infty$ のとき、$(4/5)^n \to 0$であるから、$1 - (4/5)^n \to 1$です。しかし、$5^n \to \infty$ なので、全体の極限は$\infty$に発散します。

$\lim_{n \to \infty} (5^n - 4^n) = \infty$

(6) 指数の計算より$2^{2n} = 4^n$であるから、

$\lim_{n \to \infty} ((-2)^n - 2^{2n}) = \lim_{n \to \infty} ((-2)^n - 4^n)$

ここで$(-2)^n = (-1)^n 2^n$と変形できるため、

$\lim_{n \to \infty} ((-1)^n 2^n - 4^n) = \lim_{n \to \infty} 4^n \left( (-1)^n \left( \frac{1}{2} \right)^n - 1 \right)$

$n \to \infty$ のとき、$\left( \frac{1}{2} \right)^n \to 0$であるから、$(-1)^n \left( \frac{1}{2} \right)^n - 1 \to -1$です。

また、$4^n \to \infty$であるから、$4^n \left( (-1)^n \left( \frac{1}{2} \right)^n - 1 \right) \to -\infty$

$\lim_{n \to \infty} ((-2)^n - 2^{2n}) = -\infty$

3. 最終的な答え

(4) 0

(5) $\infty$ (発散)

(6) $-\infty$ (発散)