与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dt} = ay + e^{\beta t}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 初期値問題 $y(0) = 0$ の解を求めます。 (2) (1)で求めた解が $t \to \infty$ で発散するための $a, \beta$ の条件を求めます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dt} = ay + e^{\beta t}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 初期値問題 $y(0) = 0$ の解を求めます。

(2) (1)で求めた解が $t \to \infty$ で発散するための $a, \beta$ の条件を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 初期値問題 $y(0) = 0$ の解を求める。

まず、与えられた微分方程式は1階線形微分方程式なので、定数変化法を用いて解きます。

同次方程式 $\frac{dy}{dt} = ay$ の解は $y = Ce^{at}$ です ($C$は任意定数)。

次に、定数 $C$ を $t$ の関数 $C(t)$ とし、$y = C(t)e^{at}$ を元の微分方程式に代入します。

$\frac{dy}{dt} = \frac{dC}{dt}e^{at} + aC(t)e^{at}$

これを元の微分方程式に代入すると、

$\frac{dC}{dt}e^{at} + aC(t)e^{at} = aC(t)e^{at} + e^{\beta t}$

$\frac{dC}{dt}e^{at} = e^{\beta t}$

$\frac{dC}{dt} = e^{(\beta - a)t}$

両辺を積分すると、

$C(t) = \int e^{(\beta - a)t} dt = \frac{1}{\beta - a}e^{(\beta - a)t} + K$ (ただし $\beta \neq a$)

ここで、$K$ は積分定数です。

したがって、$y = C(t)e^{at} = \left( \frac{1}{\beta - a}e^{(\beta - a)t} + K \right) e^{at} = \frac{1}{\beta - a}e^{\beta t} + Ke^{at}$ ($\beta \neq a$)

初期条件 $y(0) = 0$ を代入すると、

$0 = \frac{1}{\beta - a} + K$

$K = -\frac{1}{\beta - a}$

よって、$y = \frac{1}{\beta - a}e^{\beta t} - \frac{1}{\beta - a}e^{at} = \frac{e^{\beta t} - e^{at}}{\beta - a}$ ($\beta \neq a$)

$\beta = a$ のとき、$\frac{dC}{dt} = 1$ より、$C(t) = t + K$。

$y = (t + K)e^{at}$

$y(0) = K = 0$ より、$y = te^{at}$

(2) (1)で求めた解が $t \to \infty$ で発散するための $a, \beta$ の条件を求める。

$\beta \neq a$ のとき、$y = \frac{e^{\beta t} - e^{at}}{\beta - a}$ が $t \to \infty$ で発散するためには、少なくとも $a$ か $\beta$ が正である必要があります。

$a > 0$ または $\beta > 0$

$\beta = a$ のとき、$y = te^{at}$ が $t \to \infty$ で発散するためには、$a > 0$ である必要があります。

まとめると、$a > 0$ または $\beta > 0$ が必要です。

3. 最終的な答え

(1) $\beta \neq a$ のとき、 $y = \frac{e^{\beta t} - e^{at}}{\beta - a}$

$\beta = a$ のとき、$y = te^{at}$

(2) $a > 0$ または $\beta > 0$