与えられた3つの数列の極限を求める問題です。 (1) $n^2 - n$ (2) $\frac{n+1}{3n^2-2}$ (3) $\frac{5n^2}{-2n^2+1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの数列の極限を求める問題です。

(1) $n^2 - n$

(2) $\frac{n+1}{3n^2-2}$

(3) $\frac{5n^2}{-2n^2+1}$

2. 解き方の手順

(1) $n^2 - n = n^2(1 - \frac{1}{n})$ と変形します。$n$ が無限大に近づくと、$\frac{1}{n}$ は 0 に近づきます。したがって、$1 - \frac{1}{n}$ は 1 に近づきます。しかし、$n^2$ は無限大に発散するため、$n^2(1 - \frac{1}{n})$ も無限大に発散します。

(2) 分母と分子を $n^2$ で割ります。

$\frac{n+1}{3n^2-2} = \frac{\frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2} - \frac{2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{2}{n^2}}$

$n$ が無限大に近づくと、$\frac{1}{n}$ と $\frac{1}{n^2}$ は 0 に近づきます。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{2}{n^2}} = \frac{0 + 0}{3 - 0} = \frac{0}{3} = 0$

(3) 分母と分子を $n^2$ で割ります。

$\frac{5n^2}{-2n^2+1} = \frac{\frac{5n^2}{n^2}}{\frac{-2n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \frac{5}{-2 + \frac{1}{n^2}}$

$n$ が無限大に近づくと、$\frac{1}{n^2}$ は 0 に近づきます。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{5}{-2 + \frac{1}{n^2}} = \frac{5}{-2 + 0} = -\frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$ (無限大に発散)

(2) $0$

(3) $-\frac{5}{2}$