与えられた3つの数列の極限を求める問題です。 (1) $ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}} $ (2) $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n-\sqrt{n^2+n}} $ (3) $ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n-3}-\sqrt{n}) $

1. 問題の内容

与えられた3つの数列の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n-\sqrt{n^2+n}}$

(3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n-3}-\sqrt{n})$

2. 解き方の手順

(1)

分子と分母を $n$ で割ります。

$\frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{3+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{\frac{1}{n}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{\frac{1}{n}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1}+0} = \sqrt{3}$

(2)

分母を有理化します。

$\frac{1}{n-\sqrt{n^2+n}} = \frac{n+\sqrt{n^2+n}}{n^2-(n^2+n)} = \frac{n+\sqrt{n^2+n}}{-n} = -1-\sqrt{1+\frac{1}{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \left(-1-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right) = -1-\sqrt{1+0} = -1-1 = -2$

(3)

有理化します。

$\sqrt{n-3}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n-3}-\sqrt{n})(\sqrt{n-3}+\sqrt{n})}{\sqrt{n-3}+\sqrt{n}} = \frac{n-3-n}{\sqrt{n-3}+\sqrt{n}} = \frac{-3}{\sqrt{n-3}+\sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n-3} \to \infty$, $\sqrt{n} \to \infty$ なので、$\sqrt{n-3} + \sqrt{n} \to \infty$

$\lim_{n \to \infty} \frac{-3}{\sqrt{n-3}+\sqrt{n}} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$

(2) $-2$

(3) $0$