方程式 $x^2 = ae^x$ が異なる3つの実数解を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 = ae^x$ が異なる3つの実数解を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形して、

$a = \frac{x^2}{e^x}$ とします。

ここで関数 $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$ を定義し、$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフの交点の個数が3つになるような $a$ の範囲を考えます。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を計算します。

$f'(x) = \frac{2xe^x - x^2e^x}{(e^x)^2} = \frac{x(2-x)}{e^x}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ のときです。

$f(x)$ の増減表は以下のようになります。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :---- | :---- | :-- | :---- | :--- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | ↓ | 0 | ↑ | $\frac{4}{e^2}$ | ↓ |

$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to \infty$

$x \to \infty$ のとき $f(x) \to 0$

グラフを描くと、$y = f(x)$ は $x=0$ で極小値0を、$x=2$ で極大値 $\frac{4}{e^2}$ をとります。

方程式 $x^2 = ae^x$ が異なる3つの実数解を持つためには、直線 $y = a$ が $y = f(x)$ のグラフと3つの交点を持つ必要があります。

そのため、$0 < a < \frac{4}{e^2}$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$0 < a < \frac{4}{e^2}$