$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。 (1) $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ (2) $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。

(1) $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$

(2) $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ の証明

$f(x) = \cos x - (1 - \frac{x^2}{2})$ とおきます。

$f'(x) = -\sin x + x$

$f''(x) = -\cos x + 1$

$x > 0$ のとき、$\cos x \le 1$ より $f''(x) \ge 0$

よって、$f'(x)$ は単調増加します。

また、$f'(0) = -\sin 0 + 0 = 0$

したがって、$x > 0$ において $f'(x) > 0$

よって、$f(x)$ は単調増加します。

また、$f(0) = \cos 0 - (1 - \frac{0^2}{2}) = 1 - 1 = 0$

したがって、$x > 0$ において $f(x) > 0$

よって、$\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ が成り立ちます。

(2) $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$ の証明

$g(x) = \sin x - (x - \frac{x^3}{6})$ とおきます。

$g'(x) = \cos x - (1 - \frac{x^2}{2})$

(1) の結果より、$x > 0$ のとき $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ なので、$g'(x) > 0$

よって、$g(x)$ は単調増加します。

また、$g(0) = \sin 0 - (0 - \frac{0^3}{6}) = 0 - 0 = 0$

したがって、$x > 0$ において $g(x) > 0$

よって、$\sin x > x - \frac{x^3}{6}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ は証明された。

(2) $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$ は証明された。