与えられた関数$f(x)$が連続である区間を求める問題です。関数は二つ与えられています。 (1) $f(x) = \frac{1}{x}$ (2) $f(x) = \frac{x+2}{x^2-x+1}$

1. 問題の内容

与えられた関数$f(x)$が連続である区間を求める問題です。関数は二つ与えられています。

(1) $f(x) = \frac{1}{x}$

(2) $f(x) = \frac{x+2}{x^2-x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x}$ の場合

$f(x)$ は $x=0$ で定義されません。したがって、$x=0$ を除くすべての実数で連続です。

(2) $f(x) = \frac{x+2}{x^2-x+1}$ の場合

$f(x)$ は分母が $0$ にならない限り連続です。分母 $x^2-x+1$ が $0$ になるかどうかを調べます。

$x^2-x+1 = 0$ の判別式 $D$ を計算すると、

$D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$

判別式が負なので、$x^2-x+1 = 0$ は実数解を持ちません。

したがって、$x^2-x+1$ は常に $0$ でないため、$f(x)$ はすべての実数で連続です。

3. 最終的な答え

(1) $x \neq 0$ すなわち、$(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$

(2) すべての実数 すなわち、$(-\infty, \infty)$