長さ5mの棒が、地面に垂直な壁に立てかけられている。棒の下端Aが壁から速さ0.3m/sで遠ざかるとき、棒の下端Aが壁から4m離れたときの、棒の上端Bが壁面上を動く速さを求める。

1. 問題の内容

長さ5mの棒が、地面に垂直な壁に立てかけられている。棒の下端Aが壁から速さ0.3m/sで遠ざかるとき、棒の下端Aが壁から4m離れたときの、棒の上端Bが壁面上を動く速さを求める。

2. 解き方の手順

棒の下端Aと壁の距離を $x$、棒の上端Bと地面の距離を $y$とする。棒の長さが5mであることから、三平方の定理より以下の関係式が成り立つ。

$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$

この関係式を時間 $t$ で微分する。

$\frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dt}(25)$

$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$

$\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}$

問題文より、$\frac{dx}{dt} = 0.3$ m/s である。また、$x = 4$ m のとき、$x^2 + y^2 = 25$ より、

$y = \sqrt{25 - x^2} = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$

したがって、$x=4$のとき、$y=3$である。よって、棒の上端Bが壁面上を動く速さは、$\left|\frac{dy}{dt}\right|$ で与えられるので、

$\left|\frac{dy}{dt}\right| = \left|-\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}\right| = \left|-\frac{4}{3} \times 0.3\right| = \frac{4}{3} \times 0.3 = \frac{4}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

3. 最終的な答え

0. 4 m/s