$x > 0$ のとき、関数 $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、関数 $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数を $x$ で割って整理します。

$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x} = x - 4 + \frac{3}{x}$

相加相乗平均の不等式を利用します。$x > 0$ より、$x$ と $\frac{3}{x}$ は正であるため、

$\frac{x + \frac{3}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{3}{x}}$

$x + \frac{3}{x} \geq 2\sqrt{3}$

したがって、

$f(x) = x - 4 + \frac{3}{x} \geq 2\sqrt{3} - 4$

等号が成り立つのは $x = \frac{3}{x}$ のときです。

$x^2 = 3$

$x = \pm \sqrt{3}$

$x > 0$ より、$x = \sqrt{3}$

このとき、最小値は $2\sqrt{3} - 4$ となります。

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{3}$ で、最小値 $2\sqrt{3} - 4$ をとる。