与えられた関数 $5x^4 + 2\sqrt{x}$ を $x$ について微分する。

1. 問題の内容

与えられた関数 $5x^4 + 2\sqrt{x}$ を $x$ について微分する。

2. 解き方の手順

まず、微分演算子の線形性から、各項を別々に微分できます。つまり、

$\frac{d}{dx}(5x^4 + 2\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(5x^4) + \frac{d}{dx}(2\sqrt{x})$

次に、定数倍の法則を適用します。

$\frac{d}{dx}(5x^4) = 5\frac{d}{dx}(x^4)$

$\frac{d}{dx}(2\sqrt{x}) = 2\frac{d}{dx}(\sqrt{x})$

次に、べきの微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を使って各項を計算します。

$\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^{4-1} = 4x^3$

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$\frac{d}{dx}(5x^4) = 5(4x^3) = 20x^3$

$\frac{d}{dx}(2\sqrt{x}) = 2(\frac{1}{2\sqrt{x}}) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

最後に、これらの結果を足し合わせます。

$\frac{d}{dx}(5x^4 + 2\sqrt{x}) = 20x^3 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$20x^3 + \frac{1}{\sqrt{x}}$