与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について $n \to \infty$ のときの極限を求めます。 (1) $\frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}$ (2) $\frac{1}{n-\sqrt{n^2+n}}$ (3) $\sqrt{n-3} - \sqrt{n}$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列について $n \to \infty$ のときの極限を求めます。

(1) $\frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}}$

(2) $\frac{1}{n-\sqrt{n^2+n}}$

(3) $\sqrt{n-3} - \sqrt{n}$

2. 解き方の手順

(1) 分母と分子を $n$ で割って、極限を求めます。

(2) 分母を有理化して、極限を求めます。

(3) 有理化して、極限を求めます。

(1) $\frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{3+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{\frac{1}{n}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1}+0} = \sqrt{3}$

(2) $\frac{1}{n-\sqrt{n^2+n}} = \frac{n+\sqrt{n^2+n}}{n^2-(n^2+n)} = \frac{n+\sqrt{n^2+n}}{-n} = -1 - \sqrt{1+\frac{1}{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n-\sqrt{n^2+n}} = -1 - \sqrt{1+0} = -2$

(3) $\sqrt{n-3} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n-3} - \sqrt{n})(\sqrt{n-3} + \sqrt{n})}{\sqrt{n-3} + \sqrt{n}} = \frac{n-3 - n}{\sqrt{n-3} + \sqrt{n}} = \frac{-3}{\sqrt{n-3} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n-3} \to \infty$, $\sqrt{n} \to \infty$ なので、$\sqrt{n-3} + \sqrt{n} \to \infty$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n-3} - \sqrt{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-3}{\sqrt{n-3} + \sqrt{n}} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$

(2) $-2$

(3) $0$