与えられた問題は、以下の和を計算することです。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{6}{k(k+1)}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の和を計算することです。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{6}{k(k+1)}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{k(k+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$ とおくと、

$1 = A(k+1) + Bk$

$k = 0$ のとき $1 = A(0+1) + B(0) \implies A = 1$

$k = -1$ のとき $1 = A(-1+1) + B(-1) \implies B = -1$

したがって、

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

これを用いて、与えられた和を書き換えます。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{6}{k(k+1)} = 6 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 6 \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

この和はtelescoping sum（伸縮和）になるため、展開すると、

$6 \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 6 [ (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) ]$

$= 6 (1 - \frac{1}{n+1})$

$= 6 (\frac{n+1-1}{n+1}) = 6 (\frac{n}{n+1})$

$= \frac{6n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{6n}{n+1}$