2つの関数 $f(x) = 2x^2 - 4x + a$ と $g(x) = -2x^3 + bx^2 + cx + 1$ が与えられています。曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ は点 $P(-1, 4)$ を通り、かつ点 $P$ において共通の接線を持つとき、以下の問いに答えます。 問1: $a$, $b$, $c$ の値を求め、点 $P$ における接線の方程式を求めます。 問2: 不等式 $g(x) \geq f(x)$ を満たす $x$ の範囲を求めます。 問3: 曲線 $C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = 2x^2 - 4x + a$ と $g(x) = -2x^3 + bx^2 + cx + 1$ が与えられています。曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ は点 $P(-1, 4)$ を通り、かつ点 $P$ において共通の接線を持つとき、以下の問いに答えます。

問1: $a$, $b$, $c$ の値を求め、点 $P$ における接線の方程式を求めます。

問2: 不等式 $g(x) \geq f(x)$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

問3: 曲線 $C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

問1:

まず、$f(-1) = 4$ と $g(-1) = 4$ より、

$f(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + a = 2 + 4 + a = 6 + a = 4$

$g(-1) = -2(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + 1 = 2 + b - c + 1 = 3 + b - c = 4$

これらの式から、

$a = 4 - 6 = -2$

$b - c = 4 - 3 = 1$

次に、 $f'(x) = 4x - 4$ と $g'(x) = -6x^2 + 2bx + c$ を計算します。点 $P$ において共通の接線を持つので、$f'(-1) = g'(-1)$ が成り立ちます。

$f'(-1) = 4(-1) - 4 = -8$

$g'(-1) = -6(-1)^2 + 2b(-1) + c = -6 - 2b + c = -8$

$c - 2b = -8 + 6 = -2$

ここで、$b - c = 1$ と $c - 2b = -2$ を連立して解きます。

$c = b - 1$ を $c - 2b = -2$ に代入すると、

$(b - 1) - 2b = -2$

$-b = -1$

$b = 1$

したがって、$c = b - 1 = 1 - 1 = 0$

$a = -2$, $b = 1$, $c = 0$

点 $P$ における接線の傾きは $f'(-1) = -8$ なので、接線の方程式は

$y - 4 = -8(x - (-1))$

$y - 4 = -8(x + 1)$

$y = -8x - 8 + 4$

$y = -8x - 4$

問2:

$g(x) \geq f(x)$ を解きます。

$-2x^3 + x^2 + 1 \geq 2x^2 - 4x - 2$

$-2x^3 - x^2 + 4x + 3 \geq 0$

$2x^3 + x^2 - 4x - 3 \leq 0$

ここで、$x = -1$ が $f(x)$ と $g(x)$ の交点であることより、$x = -1$ が $2x^3 + x^2 - 4x - 3 = 0$ の解であるはずです。

$(x + 1)(2x^2 - x - 3) \leq 0$

$(x + 1)(2x - 3)(x + 1) \leq 0$

$(x + 1)^2(2x - 3) \leq 0$

$(x + 1)^2 \geq 0$ であるから、$2x - 3 \leq 0$ かつ $x \neq -1$ または $x = -1$。

$2x \leq 3$

$x \leq \frac{3}{2}$

問3:

$f(x) = 2x^2 - 4x - 2$, $g(x) = -2x^3 + x^2 + 1$

$g(x) - f(x) = -2x^3 - x^2 + 4x + 3 = (x + 1)^2( -2x + 3)$

交点は $x = -1$ と $x = \frac{3}{2}$ です。面積 $S$ は、

$S = \int_{-1}^{\frac{3}{2}} |g(x) - f(x)| dx = \int_{-1}^{\frac{3}{2}} (g(x) - f(x)) dx$

$S = \int_{-1}^{\frac{3}{2}} (-2x^3 - x^2 + 4x + 3) dx = \left[-\frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x \right]_{-1}^{\frac{3}{2}}$

$S = \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^4 - \frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3 + 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) \right] - \left[-\frac{1}{2}(-1)^4 - \frac{1}{3}(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) \right]$

$S = \left[-\frac{81}{32} - \frac{27}{24} + \frac{18}{4} + \frac{9}{2} \right] - \left[-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 2 - 3 \right]$

$S = \left[-\frac{81}{32} - \frac{9}{8} + \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \right] - \left[-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 1 \right]$

$S = \left[-\frac{81}{32} - \frac{36}{32} + \frac{144}{16} \right] - \left[\frac{-3 + 2 - 6}{6} \right] = \left[-\frac{117}{32} + \frac{288}{32} \right] - \left[-\frac{7}{6} \right]$

$S = \frac{171}{32} + \frac{7}{6} = \frac{513 + 112}{96} = \frac{625}{96}$

3. 最終的な答え

問1: $a = -2$, $b = 1$, $c = 0$, 接線の方程式は $y = -8x - 4$

問2: $x \leq \frac{3}{2}$

問3: $\frac{625}{96}$