問題8：関数 $f(x) = \int_0^x (1 + \cos t) \sin t \, dt$ ($0 < x < 4\pi$) の極値を求めよ。 問題9(1)：関数 $\int_x^{2x} e^{-t^2} dt$ を $x$ で微分せよ。 問題9(2)：関数 $\int_x^{x^2} \log t \, dt$ ($x>0$) を $x$ で微分せよ。 問題10：等式 $f(x) = \sin x + \int_0^{\pi/4} f(t) \cos t \, dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題8：関数 $f(x) = \int_0^x (1 + \cos t) \sin t \, dt$ ($0 < x < 4\pi$) の極値を求めよ。

問題9(1)：関数 $\int_x^{2x} e^{-t^2} dt$ を $x$ で微分せよ。

問題9(2)：関数 $\int_x^{x^2} \log t \, dt$ ($x>0$) を $x$ で微分せよ。

問題10：等式 $f(x) = \sin x + \int_0^{\pi/4} f(t) \cos t \, dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問題8：

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = (1 + \cos x) \sin x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$(1 + \cos x) \sin x = 0$

$\sin x = 0$ または $\cos x = -1$

$0 < x < 4\pi$ より、

$\sin x = 0$ のとき、$x = \pi, 2\pi, 3\pi$

$\cos x = -1$ のとき、$x = \pi, 3\pi$

よって、$x = \pi, 2\pi, 3\pi$

$f''(x)$ を求める。

$f'(x) = \sin x + \cos x \sin x$

$f''(x) = \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x = \cos x + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2 \cos^2 x + \cos x - 1 = (2 \cos x - 1)(\cos x + 1)$

$x = \pi$ のとき、$f''(\pi) = (2(-1) - 1)(-1 + 1) = 0$

$x = 2\pi$ のとき、$f''(2\pi) = (2(1) - 1)(1 + 1) = 2 > 0$

$x = 3\pi$ のとき、$f''(3\pi) = (2(-1) - 1)(-1 + 1) = 0$

$x = \pi$ のとき、$f'(\pi) = 0$ であり、$x < \pi$ では $f'(x) > 0$, $x > \pi$ では $f'(x) < 0$ となるため、$x = \pi$ で極大となる。

$x = 2\pi$ のとき、$f''(2\pi) > 0$ なので、$x = 2\pi$ で極小となる。

$x = 3\pi$ のとき、$f'(3\pi) = 0$ であり、$x < 3\pi$ では $f'(x) < 0$, $x > 3\pi$ では $f'(x) > 0$ となるため、$x = 3\pi$ で極大となる。

$f(\pi) = \int_0^\pi (1 + \cos t) \sin t \, dt = \int_0^\pi (\sin t + \cos t \sin t) \, dt = [-\cos t + \frac{1}{2} \sin^2 t]_0^\pi = (-\cos \pi + \frac{1}{2} \sin^2 \pi) - (-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin^2 0) = (1 + 0) - (-1 + 0) = 2$

$f(2\pi) = \int_0^{2\pi} (1 + \cos t) \sin t \, dt = [-\cos t + \frac{1}{2} \sin^2 t]_0^{2\pi} = (-\cos 2\pi + \frac{1}{2} \sin^2 2\pi) - (-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin^2 0) = (-1 + 0) - (-1 + 0) = 0$

$f(3\pi) = \int_0^{3\pi} (1 + \cos t) \sin t \, dt = [-\cos t + \frac{1}{2} \sin^2 t]_0^{3\pi} = (-\cos 3\pi + \frac{1}{2} \sin^2 3\pi) - (-\cos 0 + \frac{1}{2} \sin^2 0) = (1 + 0) - (-1 + 0) = 2$

よって、極大値は $f(\pi) = f(3\pi) = 2$, 極小値は $f(2\pi) = 0$.

問題9(1)：

$F(x) = \int_x^{2x} e^{-t^2} dt$ を $x$ で微分する。

$F(x) = \int_0^{2x} e^{-t^2} dt - \int_0^x e^{-t^2} dt$

$F'(x) = e^{-(2x)^2} \cdot 2 - e^{-x^2} = 2e^{-4x^2} - e^{-x^2}$

問題9(2)：

$G(x) = \int_x^{x^2} \log t \, dt$ を $x$ で微分する。

$G(x) = \int_0^{x^2} \log t \, dt - \int_0^x \log t \, dt$

$G'(x) = \log(x^2) \cdot 2x - \log(x) = 2 \log(x^2) \cdot x - \log(x) = 4x \log x - \log x = (4x - 1) \log x$

ただし$\int_0^x \log t dt = [t \log t -t]_0^x$, $lim_{x \to 0} x \log x = 0$

問題10：

$f(x) = \sin x + \int_0^{\pi/4} f(t) \cos t \, dt$

$\int_0^{\pi/4} f(t) \cos t \, dt = A$ とおくと、$f(x) = \sin x + A$

$A = \int_0^{\pi/4} (\sin t + A) \cos t \, dt = \int_0^{\pi/4} \sin t \cos t \, dt + A \int_0^{\pi/4} \cos t \, dt$

$A = [\frac{1}{2} \sin^2 t]_0^{\pi/4} + A [\sin t]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0) + A (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) = \frac{1}{4} + \frac{A}{\sqrt{2}}$

$A - \frac{A}{\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$

$A (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4 (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\sqrt{2}}{4 (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + 1)}{4 (2 - 1)} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$f(x) = \sin x + \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

問題8：極大値は $f(\pi) = f(3\pi) = 2$, 極小値は $f(2\pi) = 0$.

問題9(1)：$2e^{-4x^2} - e^{-x^2}$

問題9(2)：$(4x - 1) \log x$

問題10：$f(x) = \sin x + \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$