与えられた関数 $f(x) = x^2$ について、定義に従って以下の微分係数を求めます。 (1) $x = 2$ における微分係数 (2) $x = -1$ における微分係数

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^2$ について、定義に従って以下の微分係数を求めます。

(1) $x = 2$ における微分係数

(2) $x = -1$ における微分係数

2. 解き方の手順

微分係数の定義は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

(1) $x = 2$ の場合：

$f(x) = x^2$なので、$f(2) = 2^2 = 4$、$f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$

よって、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(4 + 4h + h^2) - 4}{h}$

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(4+h)}{h} = \lim_{h \to 0} (4+h)$

$f'(2) = 4+0 = 4$

(2) $x = -1$ の場合：

$f(x) = x^2$なので、$f(-1) = (-1)^2 = 1$、$f(-1+h) = (-1+h)^2 = 1 - 2h + h^2$

よって、

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 - 2h + h^2) - 1}{h}$

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{-2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(-2+h)}{h} = \lim_{h \to 0} (-2+h)$

$f'(-1) = -2+0 = -2$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$ における微分係数: 4

(2) $x = -1$ における微分係数: -2