極座標 $(r, \varphi)$ で表された物体の位置を直交座標 $(x, y)$ で表したとき、その速度 $(\dot{x}, \dot{y})$ と加速度 $(\ddot{x}, \ddot{y})$ を、$r, \varphi, \dot{r}, \dot{\varphi}, \ddot{r}, \ddot{\varphi}$ を用いて表す。ただし、(2.3.1)式を時間微分するという前提がある。ここでは (2.3.1) 式は $x = r \cos \varphi$, $y = r \sin \varphi$ であると仮定する。

1. 問題の内容

極座標 $(r, \varphi)$ で表された物体の位置を直交座標 $(x, y)$ で表したとき、その速度 $(\dot{x}, \dot{y})$ と加速度 $(\ddot{x}, \ddot{y})$ を、$r, \varphi, \dot{r}, \dot{\varphi}, \ddot{r}, \ddot{\varphi}$ を用いて表す。ただし、(2.3.1)式を時間微分するという前提がある。ここでは (2.3.1) 式は $x = r \cos \varphi$, $y = r \sin \varphi$ であると仮定する。

2. 解き方の手順

まず、速度 $(\dot{x}, \dot{y})$ を求める。$x = r \cos \varphi$, $y = r \sin \varphi$ を時間で微分する。

積の微分公式 $\frac{d}{dt}(uv) = \frac{du}{dt}v + u\frac{dv}{dt}$ を用いる。

$\dot{x} = \frac{d}{dt}(r \cos \varphi) = \dot{r} \cos \varphi + r (-\sin \varphi) \dot{\varphi} = \dot{r} \cos \varphi - r \dot{\varphi} \sin \varphi$

$\dot{y} = \frac{d}{dt}(r \sin \varphi) = \dot{r} \sin \varphi + r (\cos \varphi) \dot{\varphi} = \dot{r} \sin \varphi + r \dot{\varphi} \cos \varphi$

次に、加速度 $(\ddot{x}, \ddot{y})$ を求める。$\dot{x}$ と $\dot{y}$ を時間で微分する。

$\ddot{x} = \frac{d}{dt}(\dot{r} \cos \varphi - r \dot{\varphi} \sin \varphi) = \ddot{r} \cos \varphi - \dot{r} \dot{\varphi} \sin \varphi - (\dot{r} \dot{\varphi} \sin \varphi + r \ddot{\varphi} \sin \varphi + r \dot{\varphi} \dot{\varphi} \cos \varphi) = \ddot{r} \cos \varphi - 2 \dot{r} \dot{\varphi} \sin \varphi - r \ddot{\varphi} \sin \varphi - r \dot{\varphi}^2 \cos \varphi = (\ddot{r} - r \dot{\varphi}^2) \cos \varphi - (2 \dot{r} \dot{\varphi} + r \ddot{\varphi}) \sin \varphi$

$\ddot{y} = \frac{d}{dt}(\dot{r} \sin \varphi + r \dot{\varphi} \cos \varphi) = \ddot{r} \sin \varphi + \dot{r} \dot{\varphi} \cos \varphi + (\dot{r} \dot{\varphi} \cos \varphi + r \ddot{\varphi} \cos \varphi - r \dot{\varphi} \dot{\varphi} \sin \varphi) = \ddot{r} \sin \varphi + 2 \dot{r} \dot{\varphi} \cos \varphi + r \ddot{\varphi} \cos \varphi - r \dot{\varphi}^2 \sin \varphi = (\ddot{r} - r \dot{\varphi}^2) \sin \varphi + (2 \dot{r} \dot{\varphi} + r \ddot{\varphi}) \cos \varphi$

3. 最終的な答え

$\dot{x} = \dot{r} \cos \varphi - r \dot{\varphi} \sin \varphi$

$\dot{y} = \dot{r} \sin \varphi + r \dot{\varphi} \cos \varphi$

$\ddot{x} = (\ddot{r} - r \dot{\varphi}^2) \cos \varphi - (2 \dot{r} \dot{\varphi} + r \ddot{\varphi}) \sin \varphi$

$\ddot{y} = (\ddot{r} - r \dot{\varphi}^2) \sin \varphi + (2 \dot{r} \dot{\varphi} + r \ddot{\varphi}) \cos \varphi$