関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 1$ について、$x$ が $1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率が、$f'(a)$ に等しくなるような定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$1 < a < 2$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 1$ について、$x$ が $1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率が、$f'(a)$ に等しくなるような定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$1 < a < 2$ とする。

2. 解き方の手順

まず、平均変化率を求める。平均変化率は $\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}$ で計算できる。

$f(2) = 2^3 - 2(2^2) - 2 + 1 = 8 - 8 - 2 + 1 = -1$

$f(1) = 1^3 - 2(1^2) - 1 + 1 = 1 - 2 - 1 + 1 = -1$

よって、平均変化率は $\frac{-1 - (-1)}{2 - 1} = \frac{0}{1} = 0$ となる。

次に、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 4x - 1$

$f'(a) = 3a^2 - 4a - 1$

問題文より、$f'(a)$ が平均変化率に等しいので、

$3a^2 - 4a - 1 = 0$

この二次方程式を解く。解の公式を用いると、

$a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

ここで、$1 < a < 2$ という条件がある。

$a = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ のとき、$a \approx \frac{2 + 2.646}{3} \approx \frac{4.646}{3} \approx 1.549$ であり、$1 < a < 2$ を満たす。

$a = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ のとき、$a \approx \frac{2 - 2.646}{3} \approx \frac{-0.646}{3} \approx -0.215$ であり、$1 < a < 2$ を満たさない。

したがって、$a = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$a = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$