与えられた関数のグラフの交点の座標を求める問題です。 (1) $y = xe^{1-x}$ と $y = x$ (2) $y = x^2$ と $y = \frac{2x}{1+x^2}$ (3) $y = \cos x$ と $y = \cos 2x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

1. 問題の内容

与えられた関数のグラフの交点の座標を求める問題です。

(1) $y = xe^{1-x}$ と $y = x$

(2) $y = x^2$ と $y = \frac{2x}{1+x^2}$

(3) $y = \cos x$ と $y = \cos 2x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

2. 解き方の手順

(1)

2つの関数を連立して、$y$ を消去します。

$xe^{1-x} = x$

$x(e^{1-x} - 1) = 0$

したがって、$x=0$ または $e^{1-x} = 1$

$e^{1-x} = 1$ となるのは、$1-x=0$ のときなので、$x=1$

$x=0$ のとき、$y=0$

$x=1$ のとき、$y=1$

よって、交点の座標は $(0,0)$, $(1,1)$

(2)

2つの関数を連立して、$y$ を消去します。

$x^2 = \frac{2x}{1+x^2}$

$x^2(1+x^2) = 2x$

$x^4 + x^2 - 2x = 0$

$x(x^3 + x - 2) = 0$

$x(x-1)(x^2 + x + 2) = 0$

$x^2 + x + 2 = 0$ は実数解を持たない。

したがって、$x=0$ または $x=1$

$x=0$ のとき、$y=0$

$x=1$ のとき、$y=1$

よって、交点の座標は $(0,0)$, $(1,1)$

(3)

2つの関数を連立して、$y$ を消去します。

$\cos x = \cos 2x$

$\cos 2x - \cos x = 0$

$-2\sin \frac{2x+x}{2} \sin \frac{2x-x}{2} = 0$

$-2\sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = 0$

$\sin \frac{3x}{2} = 0$ または $\sin \frac{x}{2} = 0$

$\sin \frac{x}{2} = 0$ のとき、$\frac{x}{2} = n\pi$ ($n$ は整数)

$x = 2n\pi$

$0 \le x \le 2\pi$ より、$x=0, 2\pi$

$\sin \frac{3x}{2} = 0$ のとき、$\frac{3x}{2} = n\pi$ ($n$ は整数)

$x = \frac{2n\pi}{3}$

$0 \le x \le 2\pi$ より、$x = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi$

$x=0$ のとき、$y=1$

$x=2\pi$ のとき、$y=1$

$x=\frac{2\pi}{3}$ のとき、$y = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$x=\frac{4\pi}{3}$ のとき、$y = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

よって、交点の座標は $(0,1)$, $(\frac{2\pi}{3}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{4\pi}{3}, -\frac{1}{2})$, $(2\pi, 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(0,0)$, $(1,1)$

(2) $(0,0)$, $(1,1)$

(3) $(0,1)$, $(\frac{2\pi}{3}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{4\pi}{3}, -\frac{1}{2})$, $(2\pi, 1)$