問題は、導関数の定義を用いて、以下の2つの関数を微分することです。 (1) $f(x) = x^2$ (2) $f(x) = \sqrt{x}$

1. 問題の内容

問題は、導関数の定義を用いて、以下の2つの関数を微分することです。

(1) $f(x) = x^2$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

です。

(1) $f(x) = x^2$の場合：

$f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$

したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$の場合：

$f(x+h) = \sqrt{x+h}$

したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

分子を有理化するために、$\sqrt{x+h} + \sqrt{x}$を分子と分母に掛けます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^2$のとき、$f'(x) = 2x$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$のとき、$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$