(1) 関数 $f(x) = 4x^3 - 30x^2 + 48x - 13$ の $0 \leq x \leq 5$ における最大値と最小値の差を求める。

## 数学の問題の回答

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = 4x^3 - 30x^2 + 48x - 13$ の $0 \leq x \leq 5$ における最大値と最小値の差を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 12x^2 - 60x + 48$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$12x^2 - 60x + 48 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x-1)(x-4) = 0$

$x = 1, 4$

次に、$0 \leq x \leq 5$ における $f(x)$ の増減表を作成する。

| x | 0 | ... | 1 | ... | 4 | ... | 5 |

| ---- | ---- | --- | ---- | --- | ---- | --- | ---- |

| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |

| f(x) | -13 | ↑ | 9 | ↓ | -29 | ↑ | 7 |

$f(0) = -13$

$f(1) = 4 - 30 + 48 - 13 = 9$

$f(4) = 4(64) - 30(16) + 48(4) - 13 = 256 - 480 + 192 - 13 = -45$

$f(5) = 4(125) - 30(25) + 48(5) - 13 = 500 - 750 + 240 - 13 = -23$

増減表より、

$x=0$のとき，$f(0)=-13$

$x=1$のとき，$f(1)=9$

$x=4$のとき，$f(4)=-29$

$x=5$のとき，$f(5)=-13$

となります。

したがって、$0 \leq x \leq 5$ における $f(x)$ の最大値は $9$、最小値は $-29$ である。

最大値と最小値の差は $9 - (-29) = 38$ である。

3. 最終的な答え

38