区間 $0 \le x \le 1$ において、関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1-b}{3}x^2$ の最大値 $l$ と最小値 $m$ を求める問題です。ただし、$0 < b < 1$ とします。

1. 問題の内容

区間 $0 \le x \le 1$ において、関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1-b}{3}x^2$ の最大値 $l$ と最小値 $m$ を求める問題です。ただし、$0 < b < 1$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -x^2 + \frac{2(1-b)}{3}x = -x(x - \frac{2(1-b)}{3})$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x = 0, \frac{2(1-b)}{3}$

$0 < b < 1$ より $0 < 1-b < 1$ なので、$0 < \frac{2(1-b)}{3} < \frac{2}{3} < 1$ となり、$\frac{2(1-b)}{3}$ は $0$ と $1$ の間の値を取ります。

次に、$f(x)$ の増減表を作成します。区間 $0 \le x \le 1$ で考えます。

$x=0$、$x=\frac{2(1-b)}{3}$ で $f'(x)=0$ となり、$0<b<1$であるから、$\frac{2(1-b)}{3}$は0と1の間の値となります。

$f(0) = 0$

$f(1) = -\frac{1}{3} + \frac{1-b}{3} = \frac{-b}{3}$

$f(\frac{2(1-b)}{3}) = -\frac{1}{3}(\frac{2(1-b)}{3})^3 + \frac{1-b}{3}(\frac{2(1-b)}{3})^2 = -\frac{8(1-b)^3}{81} + \frac{4(1-b)^3}{27} = \frac{-8(1-b)^3 + 12(1-b)^3}{81} = \frac{4(1-b)^3}{81}$

増減表より、$f(x)$ は $x = \frac{2(1-b)}{3}$ で極大値をとり、$x=0$で$f(0)=0$, $x=1$で$f(1) = -\frac{b}{3}$となります。

$0 < b < 1$ より、$-\frac{b}{3} < 0$ なので、

最大値は $f(\frac{2(1-b)}{3}) = \frac{4(1-b)^3}{81}$

最小値は $f(1) = -\frac{b}{3}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{4(1-b)^3}{81}$

最小値: $-\frac{b}{3}$