$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5}{6} \pi$ のとき、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) - \cos 2\theta$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5}{6} \pi$ のとき、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) - \cos 2\theta$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形して、$\theta$ の範囲を考慮して最大値と最小値を求めます。

まず、三角関数の加法定理を用いて式を展開します。

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) = \sin 2\theta \cos \frac{\pi}{6} - \cos 2\theta \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta - \frac{1}{2} \cos 2\theta$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) - \cos 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta - \frac{1}{2} \cos 2\theta - \cos 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta - \frac{3}{2} \cos 2\theta$

次に、この式を合成します。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta - \frac{3}{2} \cos 2\theta = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} \sin(2\theta + \alpha)$

ここで、$cos \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ , $sin \alpha = \frac{-3/2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

したがって、

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta - \frac{3}{2} \cos 2\theta = \sqrt{3} \sin(2\theta + \alpha)$

$cos \alpha = \frac{1}{2}$ , $sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) - \cos 2\theta = \sqrt{3}\sin(2\theta - \frac{\pi}{3})$

次に、$2\theta$ の範囲を求めます。$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5}{6} \pi$ より、$\frac{\pi}{3} \leq 2\theta \leq \frac{5}{3} \pi$

したがって、$2\theta - \frac{\pi}{3}$ の範囲は、$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} \leq 2\theta - \frac{\pi}{3} \leq \frac{5}{3} \pi - \frac{\pi}{3}$ となり、$0 \leq 2\theta - \frac{\pi}{3} \leq \frac{4}{3}\pi$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3})$ の最大値は $1$ であり、そのときの $2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ より、$2\theta = \frac{5\pi}{6}$、$\theta = \frac{5\pi}{12}$。これは $\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5}{6} \pi$ の範囲に含まれています。

最大値は $\sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3})$ の最小値は $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、そのときの $2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ より、$2\theta = \frac{11\pi}{6}$、$\theta = \frac{11\pi}{12}$。

$\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$ より、 $\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3})$ の最小値は $\sin(\pi + \pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$のとき、$2\theta = \frac{5\pi}{3}, \theta = \frac{5\pi}{6}$

よって$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

最小値は $\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{3}$

最小値: $-\frac{3}{2}$