与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列は以下の通りです。 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列は以下の通りです。

$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

2. 解き方の手順

この数列の各項は部分分数分解できます。一般項 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ について、以下の分解を考えます。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

両辺に $(2k-1)(2k+1)$ を掛けると、

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$

$k = \frac{1}{2}$ を代入すると、$1 = A(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) + B(2 \cdot \frac{1}{2} - 1) = 2A \implies A = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$1 = A(2 \cdot (-\frac{1}{2})+1) + B(2 \cdot (-\frac{1}{2})-1) = -2B \implies B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$S$ の各項にこの分解を適用すると、

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

括弧内は連鎖的に打ち消しあう（telescoping sum）ため、

$S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)$

$S = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{2n+1}$