以下の3つの関数について、$x \to 0$ のときの極限を求める問題です。 (1) $3^{\frac{1}{x}}$ (2) $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$ (3) $2^{\frac{1}{x^2}}$

1. 問題の内容

以下の3つの関数について、$x \to 0$ のときの極限を求める問題です。

(1) $3^{\frac{1}{x}}$

(2) $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$

(3) $2^{\frac{1}{x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $3^{\frac{1}{x}}$ について:

$x \to +0$ のとき、$\frac{1}{x} \to +\infty$ なので、$3^{\frac{1}{x}} \to +\infty$ となります。

$x \to -0$ のとき、$\frac{1}{x} \to -\infty$ なので、$3^{\frac{1}{x}} \to 0$ となります。

右側極限と左側極限が一致しないため、極限は存在しません。

(2) $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$ について:

$x \to +0$ のとき、$\frac{1}{x} \to +\infty$ なので、$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}} \to 0$ となります。

$x \to -0$ のとき、$\frac{1}{x} \to -\infty$ なので、$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}} = 2^{\frac{-1}{x}} \to +\infty$ となります。

右側極限と左側極限が一致しないため、極限は存在しません。

(3) $2^{\frac{1}{x^2}}$ について:

$x \to +0$ のとき、$x^2 \to +0$ であり、$\frac{1}{x^2} \to +\infty$ なので、$2^{\frac{1}{x^2}} \to +\infty$ となります。

$x \to -0$ のとき、$x^2 \to +0$ であり、$\frac{1}{x^2} \to +\infty$ なので、$2^{\frac{1}{x^2}} \to +\infty$ となります。

右側極限と左側極限が一致し、$\infty$ に発散するため、極限は $+\infty$ です。

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在しない

(2) 極限は存在しない

(3) $+\infty$