与えられた10個の関数 $y(x)$ をそれぞれ $x$ で微分し、$dy/dx$ を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある10個の関数について、それぞれ微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数 $y(x)$ をそれぞれ $x$ で微分し、$dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x}$

合成関数の微分を行います。$u = 3x$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x}$

(2) $y = xe^x$

積の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (1+x)e^x$

(3) $y = e^x \cos x$

積の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = (e^x)' \cos x + e^x (\cos x)' = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

(4) $y = e^x \tan x$

積の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = (e^x)' \tan x + e^x (\tan x)' = e^x \tan x + e^x (\frac{1}{\cos^2 x}) = e^x (\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $y = e^{2x} \sin 3x$

積の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = (e^{2x})' \sin 3x + e^{2x} (\sin 3x)' = 2e^{2x} \sin 3x + e^{2x} (3\cos 3x) = e^{2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(6) $y = e^{2x} \tan 3x$

積の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = (e^{2x})' \tan 3x + e^{2x} (\tan 3x)' = 2e^{2x} \tan 3x + e^{2x} (3\frac{1}{\cos^2 3x}) = e^{2x} (2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$

(7) $y = \frac{e^x}{x^2}$

商の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(e^x)'x^2 - e^x(x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{e^x x^2 - e^x(2x)}{x^4} = \frac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$

(8) $y = \frac{x}{e^x}$

商の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x)'e^x - x(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x}$

(9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}} = e^{-x/3}$

合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}e^{-x/3} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}} = \frac{x}{e^{x/2}}$

商の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x)'e^{x/2} - x(e^{x/2})'}{(e^{x/2})^2} = \frac{1 \cdot e^{x/2} - x \cdot \frac{1}{2}e^{x/2}}{e^{x}} = \frac{e^{x/2} - \frac{1}{2}xe^{x/2}}{e^x} = \frac{1 - \frac{1}{2}x}{e^{x/2}} = \frac{2-x}{2e^{x/2}} = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$

3. 最終的な答え

(1) $3e^{3x}$

(2) $(1+x)e^x$

(3) $e^x(\cos x - \sin x)$

(4) $e^x (\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $e^{2x} (2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(6) $e^{2x} (2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$

(7) $\frac{e^x(x-2)}{x^3}$

(8) $\frac{1-x}{e^x}$

(9) $-\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $\frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$