問題は大きく分けて2つのパートに分かれています。 * 練習1：導関数の定義に従って、次の関数を微分せよ。 * (1) $f(x) = x^2$ * (2) $f(x) = \sqrt{x}$ * 練習2：次の関数を微分せよ。 * (1) $y = -x^3 - 7x^2 + 2x + 4$ * (2) $y = 2x^4 - 3x^2 + 1$ * (3) $y = (x^3 - 2x)(3x^4 + 1)$ * (4) $y = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$ * (5) $y = \frac{2}{2x - 1}$ * (6) $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$ * (7) $y = \frac{1}{x^2}$ * (8) $y = \frac{1}{3x^3}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて2つのパートに分かれています。

* 練習1：導関数の定義に従って、次の関数を微分せよ。

* (1) $f(x) = x^2$

* (2) $f(x) = \sqrt{x}$

* 練習2：次の関数を微分せよ。

* (1) $y = -x^3 - 7x^2 + 2x + 4$

* (2) $y = 2x^4 - 3x^2 + 1$

* (3) $y = (x^3 - 2x)(3x^4 + 1)$

* (4) $y = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$

* (5) $y = \frac{2}{2x - 1}$

* (6) $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$

* (7) $y = \frac{1}{x^2}$

* (8) $y = \frac{1}{3x^3}$

2. 解き方の手順

**練習1**

(1) $f(x) = x^2$ を導関数の定義に従って微分します。

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

この定義に $f(x) = x^2$ を代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$ を導関数の定義に従って微分します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$ を掛けます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

**練習2**

微分公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ と、定数の微分が0になることを利用します。また、合成関数の微分、積の微分、商の微分などの公式も利用します。

(1) $y = -x^3 - 7x^2 + 2x + 4$

$y' = -3x^2 - 14x + 2$

(2) $y = 2x^4 - 3x^2 + 1$

$y' = 8x^3 - 6x$

(3) $y = (x^3 - 2x)(3x^4 + 1)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^3 - 2x$, $v = 3x^4 + 1$ とすると、

$u' = 3x^2 - 2$, $v' = 12x^3$

したがって、

$y' = (3x^2 - 2)(3x^4 + 1) + (x^3 - 2x)(12x^3) = 9x^6 + 3x^2 - 6x^4 - 2 + 12x^6 - 24x^4 = 21x^6 - 30x^4 + 3x^2 - 2$

(4) $y = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$

$y = x^6 - 1$

$y' = 6x^5$

(5) $y = \frac{2}{2x - 1}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = 2$, $v = 2x - 1$ とすると、

$u' = 0$, $v' = 2$

したがって、

$y' = \frac{0(2x - 1) - 2(2)}{(2x - 1)^2} = \frac{-4}{(2x - 1)^2}$

(6) $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x^2 + 2x + 2$, $v = x + 1$ とすると、

$u' = 2x + 2$, $v' = 1$

したがって、

$y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$

(7) $y = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$

$y' = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3}$

(8) $y = \frac{1}{3x^3} = \frac{1}{3}x^{-3}$

$y' = \frac{1}{3}(-3)x^{-4} = -x^{-4} = \frac{-1}{x^4}$

3. 最終的な答え

* 練習1

* (1) $f'(x) = 2x$

* (2) $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

* 練習2

* (1) $y' = -3x^2 - 14x + 2$

* (2) $y' = 8x^3 - 6x$

* (3) $y' = 21x^6 - 30x^4 + 3x^2 - 2$

* (4) $y' = 6x^5$

* (5) $y' = \frac{-4}{(2x - 1)^2}$

* (6) $y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$

* (7) $y' = \frac{-2}{x^3}$

* (8) $y' = \frac{-1}{x^4}$