与えられた7つの関数について、指定された点における微分係数を求め、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた7つの関数について、指定された点における微分係数を求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = (x^3+5x+2)^4$ のとき、$f'(0)$ を求めます。

$f'(x) = 4(x^3+5x+2)^3 (3x^2+5)$

$f'(0) = 4(2)^3 (5) = 4 \cdot 8 \cdot 5 = 160$

(2) $f(x) = \cos^3 x \sin 3x$ のとき、$f'(\frac{\pi}{4})$ を求めます。

$f'(x) = 3 \cos^2 x (-\sin x) \sin 3x + \cos^3 x (3 \cos 3x) = -3 \cos^2 x \sin x \sin 3x + 3 \cos^3 x \cos 3x$

$f'(\frac{\pi}{4}) = -3 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) \sin \frac{3\pi}{4} + 3 (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 \cos \frac{3\pi}{4} = -3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{3}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

(3) $f(x) = x^3 2^x$ のとき、$f'(2)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 2^x + x^3 2^x \log 2$

$f'(2) = 3(2)^2 2^2 + (2)^3 2^2 \log 2 = 3 \cdot 4 \cdot 4 + 8 \cdot 4 \log 2 = 48 + 32 \log 2$

(4) $f(x) = \log (2e^{5x}-1)$ のとき、$f'(1)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{1}{2e^{5x}-1} \cdot 10e^{5x} = \frac{10e^{5x}}{2e^{5x}-1}$

$f'(1) = \frac{10e^{5}}{2e^{5}-1}$

(5) $f(x) = \tan 3x$ のとき、$f'(\frac{\pi}{3})$ を求めます。

$f'(x) = 3 \sec^2 3x = \frac{3}{\cos^2 3x}$

$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{3}{\cos^2 \pi} = \frac{3}{(-1)^2} = 3$

(6) $f(x) = \log_3 2x$ のとき、$f'(\frac{1}{\log 9})$ を求めます。

$f(x) = \frac{\log 2x}{\log 3}$

$f'(x) = \frac{1}{\log 3} \cdot \frac{2}{2x} = \frac{1}{x \log 3}$

$f'(\frac{1}{\log 9}) = \frac{1}{\frac{1}{\log 9} \log 3} = \frac{\log 9}{\log 3} = \frac{\log 3^2}{\log 3} = \frac{2 \log 3}{\log 3} = 2$

(7) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+x}$ のとき、$f'(4)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(1+x) - \sqrt{x}}{(1+x)^2} = \frac{1+x - 2x}{2\sqrt{x}(1+x)^2} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}$

$f'(4) = \frac{1-4}{2\sqrt{4}(1+4)^2} = \frac{-3}{2 \cdot 2 \cdot 25} = \frac{-3}{100}$

3. 最終的な答え

(1) 160

(2) -3/2

(3) 48 + 32 log 2

(4) 10e^5 / (2e^5 - 1)

(5) 3

(6) 2

(7) -3/100