2つの曲線 $y = x^2 + x + 1$ と $y = -x^2 + 2x + 2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = x^2 + x + 1$ と $y = -x^2 + 2x + 2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$x^2 + x + 1 = -x^2 + 2x + 2$ を解きます。

$2x^2 - x - 1 = 0$

$(2x + 1)(x - 1) = 0$

よって、$x = -\frac{1}{2}, 1$ が交点のx座標です。

次に、区間 $[-\frac{1}{2}, 1]$ で、どちらの関数が大きいかを調べます。

$f(x) = -x^2 + 2x + 2$ と $g(x) = x^2 + x + 1$ とすると、

$f(x) - g(x) = -2x^2 + x + 1$ となります。

$x = 0$ のとき、$f(0) - g(0) = 1 > 0$ なので、$f(x) \ge g(x)$ であることが分かります。

したがって、面積 $S$ は次の積分で計算できます。

$S = \int_{-\frac{1}{2}}^1 ((-x^2 + 2x + 2) - (x^2 + x + 1)) dx$

$S = \int_{-\frac{1}{2}}^1 (-2x^2 + x + 1) dx$

$S = [-\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x]_{-\frac{1}{2}}^1$

$S = (-\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1) - (-\frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2})$

$S = (-\frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{6}{6}) - (\frac{1}{12} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2})$

$S = \frac{5}{6} - (\frac{2}{24} + \frac{3}{24} - \frac{12}{24})$

$S = \frac{5}{6} - (-\frac{7}{24})$

$S = \frac{20}{24} + \frac{7}{24}$

$S = \frac{27}{24}$

$S = \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{8}$