(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ , $\sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}$ , $\sin\beta = \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき、$\cos\alpha$ , $\cos2\alpha$ , $\cos(\beta-\alpha)$ , $\cos(12\alpha - 8\beta)$の値を求める。 (2) $\tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$ ($0 < \alpha < \pi$)のとき、$\cos\frac{\alpha}{2}$の値を求める。 (3) $\tan\frac{\pi}{8}$の値を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ , $\sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{5}$ , $\sin\beta = \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき、$\cos\alpha$ , $\cos2\alpha$ , $\cos(\beta-\alpha)$ , $\cos(12\alpha - 8\beta)$の値を求める。

(2) $\tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$ ($0 < \alpha < \pi$)のとき、$\cos\frac{\alpha}{2}$の値を求める。

(3) $\tan\frac{\pi}{8}$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\cos\alpha$を求める。$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$より、$\cos\alpha > 0$である。$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{15}{25} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$\cos\alpha = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

次に、$\cos2\alpha$を求める。$\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$より、

$\cos2\alpha = \frac{2}{5} - \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}$

次に、$\cos\beta$を求める。$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$より、$\cos\beta < 0$である。$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$より、

$\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{10}{25} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

$\cos\beta = -\sqrt{\frac{3}{5}} = -\frac{\sqrt{15}}{5}$

次に、$\cos(\beta - \alpha)$を求める。$\cos(\beta - \alpha) = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha$より、

$\cos(\beta - \alpha) = \left(-\frac{\sqrt{15}}{5}\right)\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right) + \left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) = -\frac{\sqrt{150}}{25} + \frac{\sqrt{150}}{25} = 0$

次に、$\cos(12\alpha - 8\beta)$を求める。$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(4(3\alpha - 2\beta))$である。

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(12\alpha)\cos(8\beta) + \sin(12\alpha)\sin(8\beta)$

$3\alpha - 2\beta$の値を求める。

$\cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha) = 4\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)^3 - 3\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right) = \frac{4(10\sqrt{10})}{125} - \frac{3\sqrt{10}}{5} = \frac{40\sqrt{10}}{125} - \frac{75\sqrt{10}}{125} = -\frac{35\sqrt{10}}{125} = -\frac{7\sqrt{10}}{25}$

$\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha) = 3\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) - 4\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^3 = \frac{3\sqrt{15}}{5} - \frac{4(15\sqrt{15})}{125} = \frac{3\sqrt{15}}{5} - \frac{60\sqrt{15}}{125} = \frac{75\sqrt{15}}{125} - \frac{60\sqrt{15}}{125} = \frac{15\sqrt{15}}{125} = \frac{3\sqrt{15}}{25}$

$\cos(2\beta) = 2\cos^2(\beta) - 1 = 2\left(\frac{3}{5}\right) - 1 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$

$\sin(2\beta) = 2\sin(\beta)\cos(\beta) = 2\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)\left(-\frac{\sqrt{15}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{150}}{25} = -\frac{2(5\sqrt{6})}{25} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\cos(3\alpha - 2\beta) = \cos(3\alpha)\cos(2\beta) + \sin(3\alpha)\sin(2\beta) = \left(-\frac{7\sqrt{10}}{25}\right)\left(\frac{1}{5}\right) + \left(\frac{3\sqrt{15}}{25}\right)\left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) = -\frac{7\sqrt{10}}{125} - \frac{6\sqrt{90}}{125} = -\frac{7\sqrt{10}}{125} - \frac{6(3\sqrt{10})}{125} = -\frac{7\sqrt{10}}{125} - \frac{18\sqrt{10}}{125} = -\frac{25\sqrt{10}}{125} = -\frac{\sqrt{10}}{5}$

$\sin(3\alpha - 2\beta) = \sin(3\alpha)\cos(2\beta) - \cos(3\alpha)\sin(2\beta) = \left(\frac{3\sqrt{15}}{25}\right)\left(\frac{1}{5}\right) - \left(-\frac{7\sqrt{10}}{25}\right)\left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) = \frac{3\sqrt{15}}{125} - \frac{14\sqrt{60}}{125} = \frac{3\sqrt{15}}{125} - \frac{14(2\sqrt{15})}{125} = \frac{3\sqrt{15}}{125} - \frac{28\sqrt{15}}{125} = -\frac{25\sqrt{15}}{125} = -\frac{\sqrt{15}}{5}$

$3\alpha - 2\beta = \pi - \arccos\frac{\sqrt{10}}{5}$

$\cos(12\alpha - 8\beta) = \cos(4(3\alpha - 2\beta))$

cos(π) = -1

(2)

$\tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$のとき、$\cos\alpha = \pm\frac{2}{\sqrt{25}} = \pm\frac{2}{5}$

$0 < \alpha < \pi$なので、$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$より、$\cos\alpha = \pm\frac{2}{\sqrt{25}} = \pm\frac{2}{5}$

$\alpha$は第1象限または第2象限なので、$\frac{\alpha}{2}$は第1象限である。

したがって、$\cos\frac{\alpha}{2} > 0$である。

$\cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1$より、$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\alpha + 1}{2}$

$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{\cos\alpha + 1}{2}} = \sqrt{\frac{-\frac{2}{5} + 1}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$

(3)

$\tan\frac{\pi}{8}$の値を求める。

$\tan\frac{\pi}{4} = \frac{2\tan\frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2\frac{\pi}{8}} = 1$より、$2\tan\frac{\pi}{8} = 1 - \tan^2\frac{\pi}{8}$

$\tan^2\frac{\pi}{8} + 2\tan\frac{\pi}{8} - 1 = 0$

$\tan\frac{\pi}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$\tan\frac{\pi}{8} > 0$なので、$\tan\frac{\pi}{8} = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$\cos2\alpha = -\frac{1}{5}$

$\cos(\beta - \alpha) = 0$

$\cos(12\alpha - 8\beta) = -1$

(2) $\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{30}}{10}$

(3) $\tan\frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$