定積分の計算問題です。 $\int_{2}^{1} (3x^2 - 6x) dx - \int_{0}^{1} (3x^2 - 6x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分の計算問題です。

$\int_{2}^{1} (3x^2 - 6x) dx - \int_{0}^{1} (3x^2 - 6x) dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (3x^2 - 6x) dx = x^3 - 3x^2 + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分を計算します。

$\int_{2}^{1} (3x^2 - 6x) dx = [x^3 - 3x^2]_{2}^{1} = (1^3 - 3(1)^2) - (2^3 - 3(2)^2) = (1 - 3) - (8 - 12) = -2 - (-4) = -2 + 4 = 2$

$\int_{0}^{1} (3x^2 - 6x) dx = [x^3 - 3x^2]_{0}^{1} = (1^3 - 3(1)^2) - (0^3 - 3(0)^2) = (1 - 3) - (0 - 0) = -2 - 0 = -2$

最後に、与えられた式を計算します。

$\int_{2}^{1} (3x^2 - 6x) dx - \int_{0}^{1} (3x^2 - 6x) dx = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$

別の解法として、定積分の性質を利用することもできます。

$\int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

これを用いると、

$\int_{2}^{1} (3x^2 - 6x) dx - \int_{0}^{1} (3x^2 - 6x) dx = \int_{2}^{0} (3x^2 - 6x) dx = [x^3 - 3x^2]_{2}^{0} = (0^3 - 3(0)^2) - (2^3 - 3(2)^2) = 0 - (8 - 12) = 0 - (-4) = 4$

3. 最終的な答え

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