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次の極限値を求めよ。 (1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$ (2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}$

解析学極限三角関数
2025/5/13

1. 問題の内容

次の極限値を求めよ。
(1) lim⁡θ→0sin⁡3θ2θ\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}
(2) lim⁡θ→0θsin⁡3θ\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}

2. 解き方の手順

(1) lim⁡θ→0sin⁡3θ2θ\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta} を求める。
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 を利用するために、sin⁡3θ3θ\frac{\sin 3\theta}{3\theta} の形を作る。
sin⁡3θ2θ=sin⁡3θ3θ⋅3θ2θ=sin⁡3θ3θ⋅32\frac{\sin 3\theta}{2\theta} = \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3\theta}{2\theta} = \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3}{2}
lim⁡θ→0sin⁡3θ2θ=lim⁡θ→0sin⁡3θ3θ⋅32=1⋅32=32\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
(2) lim⁡θ→0θsin⁡3θ\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta} を求める。
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 を利用する。
θsin⁡3θ=1sin⁡3θθ\frac{\theta}{\sin 3\theta} = \frac{1}{\frac{\sin 3\theta}{\theta}}
sin⁡3θθ=sin⁡3θ3θ⋅3\frac{\sin 3\theta}{\theta} = \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot 3
lim⁡θ→0sin⁡3θθ=lim⁡θ→0sin⁡3θ3θ⋅3=1⋅3=3\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3
lim⁡θ→0θsin⁡3θ=lim⁡θ→01sin⁡3θθ=13\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{\frac{\sin 3\theta}{\theta}} = \frac{1}{3}

3. 最終的な答え

(1) 32\frac{3}{2}
(2) 13\frac{1}{3}

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