$\theta$ についての恒等式 $\cos \theta + \cos(\theta + \phi_1) + \cos(\theta + \phi_2) = 0$ が与えられている。$\phi_1$ と $\phi_2$ は定数で、$0 \le \phi_1 \le \phi_2 < 2\pi$ を満たす。 (1) $\phi_1$ と $\phi_2$ の値を求める。 (2) $\cos^2 \theta + \cos^2(\theta + \phi_1) + \cos^2(\theta + \phi_2)$ の値を求める。 (3) $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (\cos \phi_1, \sin \phi_1), \vec{c} = (\cos \phi_2, \sin \phi_2)$ とするとき、位置ベクトル $\cos \theta \vec{a} + \cos(\theta + \phi_1) \vec{b} + \cos(\theta + \phi_2) \vec{c}$ で表される点Pの軌跡と、$\theta$ が増加する場合の点Pの動きを求める。

1. 問題の内容

$\theta$ についての恒等式 $\cos \theta + \cos(\theta + \phi_1) + \cos(\theta + \phi_2) = 0$ が与えられている。$\phi_1$ と $\phi_2$ は定数で、$0 \le \phi_1 \le \phi_2 < 2\pi$ を満たす。

(1) $\phi_1$ と $\phi_2$ の値を求める。

(2) $\cos^2 \theta + \cos^2(\theta + \phi_1) + \cos^2(\theta + \phi_2)$ の値を求める。

(3) $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (\cos \phi_1, \sin \phi_1), \vec{c} = (\cos \phi_2, \sin \phi_2)$ とするとき、位置ベクトル $\cos \theta \vec{a} + \cos(\theta + \phi_1) \vec{b} + \cos(\theta + \phi_2) \vec{c}$ で表される点Pの軌跡と、$\theta$ が増加する場合の点Pの動きを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos \theta + \cos(\theta + \phi_1) + \cos(\theta + \phi_2) = 0$ を変形する。

$\cos(\theta + \phi_1) + \cos(\theta + \phi_2) = - \cos \theta$

和積の公式より、

$2 \cos \left( \theta + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2} \right) \cos \left( \frac{\phi_1 - \phi_2}{2} \right) = - \cos \theta$

これは任意の $\theta$ で成立するので、

$\phi_1 = \frac{2}{3} \pi$ 、$\phi_2 = \frac{4}{3} \pi$ とすると、

$2 \cos \left( \theta + \pi \right) \cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) = - \cos \theta$

$2 (-\cos \theta) \left( \frac{1}{2} \right) = - \cos \theta$

$-\cos \theta = - \cos \theta$ となり、成立する。

(2)

$\cos^2 \theta + \cos^2(\theta + \phi_1) + \cos^2(\theta + \phi_2)$

$=\cos^2 \theta + \cos^2 \left( \theta + \frac{2}{3} \pi \right) + \cos^2 \left( \theta + \frac{4}{3} \pi \right)$

$= \cos^2 \theta + \left( \cos \theta \cos \frac{2}{3} \pi - \sin \theta \sin \frac{2}{3} \pi \right)^2 + \left( \cos \theta \cos \frac{4}{3} \pi - \sin \theta \sin \frac{4}{3} \pi \right)^2$

$= \cos^2 \theta + \left( \cos \theta \left( - \frac{1}{2} \right) - \sin \theta \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)^2 + \left( \cos \theta \left( - \frac{1}{2} \right) - \sin \theta \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)^2$

$= \cos^2 \theta + \frac{1}{4} \cos^2 \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \sin \theta + \frac{3}{4} \sin^2 \theta + \frac{1}{4} \cos^2 \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \sin \theta + \frac{3}{4} \sin^2 \theta$

$= \cos^2 \theta + \frac{1}{2} \cos^2 \theta + \frac{3}{2} \sin^2 \theta$

$= \frac{3}{2} \cos^2 \theta + \frac{3}{2} \sin^2 \theta = \frac{3}{2}$

(3)

$\vec{p} = \cos \theta \vec{a} + \cos(\theta + \phi_1) \vec{b} + \cos(\theta + \phi_2) \vec{c}$

$\vec{p} = \cos \theta (1, 0) + \cos(\theta + \frac{2}{3} \pi) (\cos \frac{2}{3} \pi, \sin \frac{2}{3} \pi) + \cos(\theta + \frac{4}{3} \pi) (\cos \frac{4}{3} \pi, \sin \frac{4}{3} \pi)$

$\vec{p} = \left( \cos \theta + \cos(\theta + \frac{2}{3} \pi) \cos \frac{2}{3} \pi + \cos(\theta + \frac{4}{3} \pi) \cos \frac{4}{3} \pi, \cos(\theta + \frac{2}{3} \pi) \sin \frac{2}{3} \pi + \cos(\theta + \frac{4}{3} \pi) \sin \frac{4}{3} \pi \right)$

$\vec{p} = \left( \cos \theta + \cos(\theta + \frac{2}{3} \pi) (- \frac{1}{2}) + \cos(\theta + \frac{4}{3} \pi) (- \frac{1}{2}), \cos(\theta + \frac{2}{3} \pi) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos(\theta + \frac{4}{3} \pi) (- \frac{\sqrt{3}}{2}) \right)$

$\cos \theta + \cos(\theta + \phi_1) + \cos(\theta + \phi_2) = 0$ より、$\cos(\theta + \frac{2}{3} \pi) + \cos(\theta + \frac{4}{3} \pi) = - \cos \theta$

$\vec{p} = \left( \cos \theta - \frac{1}{2} (- \cos \theta), \frac{\sqrt{3}}{2} (\cos(\theta + \frac{2}{3} \pi) - \cos(\theta + \frac{4}{3} \pi)) \right)$

$\vec{p} = \left( \frac{3}{2} \cos \theta, \frac{\sqrt{3}}{2} (-2 \sin (\theta + \pi) \sin (- \frac{\pi}{3})) \right)$

$\vec{p} = \left( \frac{3}{2} \cos \theta, \frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sin \theta \frac{\sqrt{3}}{2}) \right) = \left( \frac{3}{2} \cos \theta, \frac{3}{2} \sin \theta \right)$

点Pは、半径 $\frac{3}{2}$ の円周上に存在する。$\theta$ が増加すると、点Pは反時計回りに移動する。

3. 最終的な答え

(1) $\phi_1 = \frac{2}{3} \pi, \phi_2 = \frac{4}{3} \pi$

(2) $\cos^2 \theta + \cos^2(\theta + \phi_1) + \cos^2(\theta + \phi_2) = \frac{3}{2}$

(3) 点Pは半径 $\frac{3}{2}$ の円周上に存在し、$\theta$ が増加する場合、点Pは反時計回りに移動する。