与えられた積分方程式を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。2つの問題があります。 (1) $f(x) = 2x^2 + x \int_0^1 f(t) dt$ (2) $f(x) = 2x + \int_0^1 (x+t) f(t) dt$

1. 問題の内容

与えられた積分方程式を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。2つの問題があります。

(1) $f(x) = 2x^2 + x \int_0^1 f(t) dt$

(2) $f(x) = 2x + \int_0^1 (x+t) f(t) dt$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_0^1 f(t) dt = A$ とおきます。

すると、

$f(x) = 2x^2 + Ax$ となります。

これを積分すると、

$A = \int_0^1 (2t^2 + At) dt = [\frac{2}{3}t^3 + \frac{A}{2}t^2]_0^1 = \frac{2}{3} + \frac{A}{2}$

$A = \frac{2}{3} + \frac{A}{2}$ より、$\frac{A}{2} = \frac{2}{3}$ なので、

$A = \frac{4}{3}$

したがって、$f(x) = 2x^2 + \frac{4}{3}x$

(2)

$\int_0^1 tf(t) dt = B$ とおきます。

$\int_0^1 f(t) dt = A$ とおきます。

$f(x) = 2x + \int_0^1 (x+t) f(t) dt = 2x + x \int_0^1 f(t) dt + \int_0^1 tf(t) dt$

$f(x) = 2x + Ax + B$

$f(x) = (2+A)x + B$

$A = \int_0^1 f(t) dt = \int_0^1 ( (2+A)t + B ) dt = [\frac{2+A}{2} t^2 + Bt ]_0^1 = \frac{2+A}{2} + B = 1 + \frac{A}{2} + B$

よって、$A = 1 + \frac{A}{2} + B$ より $\frac{A}{2} - B = 1$

$B = \int_0^1 tf(t) dt = \int_0^1 t( (2+A)t + B ) dt = \int_0^1 ( (2+A)t^2 + Bt ) dt = [\frac{2+A}{3} t^3 + \frac{B}{2}t^2]_0^1 = \frac{2+A}{3} + \frac{B}{2}$

よって、$B = \frac{2+A}{3} + \frac{B}{2}$ より $\frac{B}{2} = \frac{2+A}{3}$ なので $3B = 4 + 2A$, $2A - 3B = -4$

$\frac{A}{2} - B = 1$ より $A - 2B = 2$。$A = 2B + 2$

$2A - 3B = -4$ より $2(2B+2) - 3B = -4$

$4B + 4 - 3B = -4$

$B = -8$

$A = 2B + 2 = 2(-8) + 2 = -16 + 2 = -14$

$f(x) = (2+A)x + B = (2-14)x - 8 = -12x - 8$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 2x^2 + \frac{4}{3}x$

(2) $f(x) = -12x - 8$