点 (2, 1) から放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ に引いた2本の接線と、この放物線で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

点 (2, 1) から放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ に引いた2本の接線と、この放物線で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線上の点 $(t, t^2 - 3t + 4)$ における接線を求めます。

$y' = 2x - 3$ より、接線の傾きは $2t - 3$ です。したがって、接線の方程式は

$y - (t^2 - 3t + 4) = (2t - 3)(x - t)$

$y = (2t - 3)x - t^2 + 4$

この接線が点 (2, 1) を通るので、

$1 = (2t - 3)(2) - t^2 + 4$

$1 = 4t - 6 - t^2 + 4$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

よって、$t = 1, 3$

それぞれの接線の方程式は

$t = 1$ のとき、$y = (2(1) - 3)x - 1^2 + 4 = -x + 3$

$t = 3$ のとき、$y = (2(3) - 3)x - 3^2 + 4 = 3x - 5$

2つの接線の交点を求めます。

$-x + 3 = 3x - 5$

$4x = 8$

$x = 2$

$y = -2 + 3 = 1$

したがって、交点は (2, 1) となります。

放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ と接線 $y = -x + 3$ の交点のx座標は $t = 1$ なので、$x = 1$

放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ と接線 $y = 3x - 5$ の交点のx座標は $t = 3$ なので、$x = 3$

囲まれた図形の面積は、

$\int_1^3 \{(x^2 - 3x + 4) - (-x + 3)\} dx - \int_1^3 \{(x^2 - 3x + 4) - (3x - 5)\} dx$

$\int_1^3 (x^2 - 2x + 1) dx = \int_1^3 (x-1)^2 dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_1^3 = \frac{(3-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} = \frac{8}{3}$

$\int_1^3 \{(x^2 - 3x + 4) - (3x - 5)\}dx = \int_1^3 (x^2 - 6x + 9)dx = \int_1^3 (x-3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_1^3 = 0 - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3}$

面積は $\int_1^3 (-x + 3 - (x^2 - 3x + 4)) dx = \int_1^3 (-x^2 + 2x - 1) dx = [-\frac{x^3}{3} + x^2 - x]_1^3$

$[-\frac{27}{3} + 9 - 3] - [-\frac{1}{3} + 1 - 1] = [-9 + 9 - 3] - [-\frac{1}{3}] = -3 + \frac{1}{3} = -\frac{8}{3}$

絶対値を取って、$\frac{8}{3}$

面積は $\int_1^3 (3x - 5 - (x^2 - 3x + 4)) dx = \int_1^3 (-x^2 + 6x - 9) dx = [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 9x]_1^3$

$[-\frac{27}{3} + 27 - 27] - [-\frac{1}{3} + 3 - 9] = -9 - (-\frac{1}{3} - 6) = -9 + \frac{1}{3} + 6 = -3 + \frac{1}{3} = -\frac{8}{3}$

絶対値を取って、$\frac{8}{3}$

よって面積は$\frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

8/3