$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \ge -\frac{1}{2}$ を解け。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) \ge -\frac{1}{2}$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、$t = \theta + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ であるから、 $0 + \frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} < 2\pi + \frac{\pi}{3}$ より、 $\frac{\pi}{3} \le t < \frac{7}{3}\pi$ となる。

与えられた不等式は $\sin t \ge -\frac{1}{2}$ となる。

$\sin t = -\frac{1}{2}$ となる $t$ の値を求める。

$\sin t = -\frac{1}{2}$ となるのは $t = \frac{7}{6}\pi$ と $t = \frac{11}{6}\pi$ のときである。

したがって、$\sin t \ge -\frac{1}{2}$ となる $t$ の範囲は、 $\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{7}{6}\pi$ または $\frac{11}{6}\pi \le t < \frac{7}{3}\pi$ となる。

ここで、$t = \theta + \frac{\pi}{3}$ より $\theta = t - \frac{\pi}{3}$ であるから、$\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{7}{6}\pi$ のとき、

$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7}{6}\pi - \frac{\pi}{3}$ より、 $0 \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$ となる。

$\frac{11}{6}\pi \le t < \frac{7}{3}\pi$ のとき、$\frac{11}{6}\pi - \frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{7}{3}\pi - \frac{\pi}{3}$ より、$\frac{3}{2}\pi \le \theta < 2\pi$ となる。

3. 最終的な答え

$0 \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$, $\frac{3}{2}\pi \le \theta < 2\pi$