与えられた三角関数の導関数を求める問題です。具体的には、(c)から(k)までの関数 $y$ について、その導関数 $y'$ を計算します。 (c) $y = \cos(x^3 - 2)$ (d) $y = \cos(-x^3)$ (e) $y = \cos\sqrt{x}$ (f) $y = \sin\frac{1}{x+1}$ (g) $y = \tan 4x$ (h) $y = \tan(4 - 2x)$ (i) $y = \cot 2x^2$ (j) $y = \cot(2x + 1)$ (k) $y = \tan\frac{1}{x}$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の導関数を求める問題です。具体的には、(c)から(k)までの関数 $y$ について、その導関数 $y'$ を計算します。

(c) $y = \cos(x^3 - 2)$

(d) $y = \cos(-x^3)$

(e) $y = \cos\sqrt{x}$

(f) $y = \sin\frac{1}{x+1}$

(g) $y = \tan 4x$

(h) $y = \tan(4 - 2x)$

(i) $y = \cot 2x^2$

(j) $y = \cot(2x + 1)$

(k) $y = \tan\frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(c) $y = \cos(x^3 - 2)$ の導関数を求める。合成関数の微分公式を使う。

$y' = -\sin(x^3 - 2) \cdot (x^3 - 2)' = -\sin(x^3 - 2) \cdot 3x^2 = -3x^2\sin(x^3 - 2)$

(d) $y = \cos(-x^3)$ の導関数を求める。

$y' = -\sin(-x^3) \cdot (-x^3)' = -\sin(-x^3) \cdot (-3x^2) = 3x^2\sin(-x^3) = -3x^2\sin(x^3)$

(e) $y = \cos\sqrt{x}$ の導関数を求める。

$y' = -\sin(\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x})' = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

(f) $y = \sin\frac{1}{x+1}$ の導関数を求める。

$y' = \cos\left(\frac{1}{x+1}\right) \cdot \left(\frac{1}{x+1}\right)' = \cos\left(\frac{1}{x+1}\right) \cdot \left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right) = -\frac{\cos\left(\frac{1}{x+1}\right)}{(x+1)^2}$

(g) $y = \tan 4x$ の導関数を求める。

$y' = \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot (4x)' = \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = \frac{4}{\cos^2(4x)} = 4\sec^2(4x)$

(h) $y = \tan(4 - 2x)$ の導関数を求める。

$y' = \frac{1}{\cos^2(4 - 2x)} \cdot (4 - 2x)' = \frac{1}{\cos^2(4 - 2x)} \cdot (-2) = -\frac{2}{\cos^2(4 - 2x)} = -2\sec^2(4 - 2x)$

(i) $y = \cot 2x^2$ の導関数を求める。

$y' = -\frac{1}{\sin^2(2x^2)} \cdot (2x^2)' = -\frac{1}{\sin^2(2x^2)} \cdot 4x = -\frac{4x}{\sin^2(2x^2)} = -4x \csc^2(2x^2)$

(j) $y = \cot(2x + 1)$ の導関数を求める。

$y' = -\frac{1}{\sin^2(2x + 1)} \cdot (2x + 1)' = -\frac{1}{\sin^2(2x + 1)} \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2(2x + 1)} = -2 \csc^2(2x + 1)$

(k) $y = \tan\frac{1}{x}$ の導関数を求める。

$y' = \frac{1}{\cos^2(\frac{1}{x})} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)' = \frac{1}{\cos^2(\frac{1}{x})} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2\cos^2(\frac{1}{x})} = -\frac{\sec^2(1/x)}{x^2}$

3. 最終的な答え

(c) $y' = -3x^2\sin(x^3 - 2)$

(d) $y' = -3x^2\sin(x^3)$

(e) $y' = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

(f) $y' = -\frac{\cos\left(\frac{1}{x+1}\right)}{(x+1)^2}$

(g) $y' = 4\sec^2(4x)$

(h) $y' = -2\sec^2(4 - 2x)$

(i) $y' = -4x \csc^2(2x^2)$

(j) $y' = -2 \csc^2(2x + 1)$

(k) $y' = -\frac{\sec^2(1/x)}{x^2}$