媒介変数 $t$ で表された曲線について、$t$ の値に対応する点における接線の方程式を求めます。問題は(1)と(2)の2つあります。 (1) $\begin{cases} x = \sqrt{3}\cos{t} \\ y = \sin{t} \end{cases}$　($t = \frac{\pi}{6}$) (2) $\begin{cases} x = \cos{2t} \\ y = \sin{t} + 1 \end{cases}$　($t = -\frac{\pi}{6}$)

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線について、$t$ の値に対応する点における接線の方程式を求めます。問題は(1)と(2)の2つあります。

(1) $\begin{cases} x = \sqrt{3}\cos{t} \\ y = \sin{t} \end{cases}$　($t = \frac{\pi}{6}$)

(2) $\begin{cases} x = \cos{2t} \\ y = \sin{t} + 1 \end{cases}$　($t = -\frac{\pi}{6}$)

2. 解き方の手順

接線の方程式を求めるには、まず $\frac{dy}{dx}$ を計算する必要があります。媒介変数表示された関数では、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ で計算できます。

(1)

$x = \sqrt{3}\cos{t}$ より、$\frac{dx}{dt} = -\sqrt{3}\sin{t}$

$y = \sin{t}$ より、$\frac{dy}{dt} = \cos{t}$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos{t}}{-\sqrt{3}\sin{t}} = -\frac{\cos{t}}{\sqrt{3}\sin{t}}$

$t = \frac{\pi}{6}$ のとき、$x = \sqrt{3}\cos{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$

$y = \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos{\frac{\pi}{6}}}{\sqrt{3}\sin{\frac{\pi}{6}}} = -\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}} = -1$

接線の方程式は、$y - \frac{1}{2} = -1(x - \frac{3}{2})$

$y = -x + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

$y = -x + 2$

(2)

$x = \cos{2t}$ より、$\frac{dx}{dt} = -2\sin{2t}$

$y = \sin{t} + 1$ より、$\frac{dy}{dt} = \cos{t}$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos{t}}{-2\sin{2t}} = \frac{\cos{t}}{-4\sin{t}\cos{t}} = -\frac{1}{4\sin{t}}$

$t = -\frac{\pi}{6}$ のとき、$x = \cos{(-\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{2}$

$y = \sin{(-\frac{\pi}{6})} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4\sin{(-\frac{\pi}{6})}} = -\frac{1}{4(-\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}$

接線の方程式は、$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + 2$

(2) $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$