与えられた関数 $y$ について、その導関数 $y'$ を求める問題です。 具体的には、以下の関数について $y'$ を求めます。 (l) $y = \cos^3 x$ (m) $y = \sin^2 3x$ (n) $y = x^2 \tan 3x$ (o) $y = \frac{\sin 3x}{x+1}$ (p) $y = \sec(3x+2)$ (q) $y = \tan x \sec x$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ について、その導関数 $y'$ を求める問題です。

具体的には、以下の関数について $y'$ を求めます。

(l) $y = \cos^3 x$

(m) $y = \sin^2 3x$

(n) $y = x^2 \tan 3x$

(o) $y = \frac{\sin 3x}{x+1}$

(p) $y = \sec(3x+2)$

(q) $y = \tan x \sec x$

2. 解き方の手順

各関数について、微分公式と合成関数の微分法（連鎖律）、積の微分法、商の微分法などを用いて導関数を求めます。

(l) $y = \cos^3 x$

$y = (\cos x)^3$ なので、連鎖律を用いると、

$y' = 3(\cos x)^2 \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$

(m) $y = \sin^2 3x$

$y = (\sin 3x)^2$ なので、連鎖律を用いると、

$y' = 2(\sin 3x) \cdot (3\cos 3x) = 6 \sin 3x \cos 3x = 3 \sin 6x$

(n) $y = x^2 \tan 3x$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、

$y' = (x^2)' \tan 3x + x^2 (\tan 3x)' = 2x \tan 3x + x^2 (3 \sec^2 3x) = 2x \tan 3x + 3x^2 \sec^2 3x$

(o) $y = \frac{\sin 3x}{x+1}$

商の微分法 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いると、

$y' = \frac{(3 \cos 3x)(x+1) - (\sin 3x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3(x+1)\cos 3x - \sin 3x}{(x+1)^2}$

(p) $y = \sec(3x+2)$

$\sec u = \frac{1}{\cos u}$ なので、$(\sec u)' = \sec u \tan u \cdot u'$ を用いると、

$y' = \sec(3x+2) \tan(3x+2) \cdot 3 = 3 \sec(3x+2) \tan(3x+2)$

(q) $y = \tan x \sec x$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、

$y' = (\tan x)' \sec x + \tan x (\sec x)' = \sec^2 x \sec x + \tan x (\sec x \tan x) = \sec^3 x + \sec x \tan^2 x = \sec x (\sec^2 x + \tan^2 x)$

3. 最終的な答え

(l) $y' = -3\cos^2 x \sin x$

(m) $y' = 3\sin 6x$

(n) $y' = 2x \tan 3x + 3x^2 \sec^2 3x$

(o) $y' = \frac{3(x+1)\cos 3x - \sin 3x}{(x+1)^2}$

(p) $y' = 3 \sec(3x+2) \tan(3x+2)$

(q) $y' = \sec x (\sec^2 x + \tan^2 x)$