方程式 $x^2 - 2 = 0$ を、$x = 2$ を出発点とするニュートン法を用いて、小数点以下第7位まで求めよ。ニュートン法は漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n}$, $a_1 = 2$ で与えられる。$a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ を実際に計算し、$\sqrt{2}$ の小数表示と比較せよ。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 - 2 = 0$ を、$x = 2$ を出発点とするニュートン法を用いて、小数点以下第7位まで求めよ。ニュートン法は漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n}$, $a_1 = 2$ で与えられる。$a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ を実際に計算し、$\sqrt{2}$ の小数表示と比較せよ。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を用いて、$a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ を計算する。計算は分数のまま行い、最後に小数に変換する。

* $a_1 = 2$

* $a_2 = \frac{a_1}{2} + \frac{1}{a_1} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

* $a_3 = \frac{a_2}{2} + \frac{1}{a_2} = \frac{3/2}{2} + \frac{1}{3/2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9 + 8}{12} = \frac{17}{12} \approx 1.4166666666666667$

* $a_4 = \frac{a_3}{2} + \frac{1}{a_3} = \frac{17/12}{2} + \frac{1}{17/12} = \frac{17}{24} + \frac{12}{17} = \frac{17^2 + 12 \cdot 24}{24 \cdot 17} = \frac{289 + 288}{408} = \frac{577}{408} \approx 1.4142156862745098$

* $a_5 = \frac{a_4}{2} + \frac{1}{a_4} = \frac{577/408}{2} + \frac{1}{577/408} = \frac{577}{816} + \frac{408}{577} = \frac{577^2 + 408 \cdot 816}{816 \cdot 577} = \frac{332929 + 332928}{471432} = \frac{665857}{471432} \approx 1.4142135623746899$

* $a_6 = \frac{a_5}{2} + \frac{1}{a_5} = \frac{665857/471432}{2} + \frac{1}{665857/471432} = \frac{665857}{942864} + \frac{471432}{665857} = \frac{665857^2 + 471432 \cdot 942864}{942864 \cdot 665857} = \frac{443385243649 + 444499617728}{627833552688} = \frac{887884861377}{627833552688} \approx 1.414213562373095$

$\sqrt{2} \approx 1.4142135623730950488016887242097$

$a_6$ は $\sqrt{2}$ を小数点以下第12位まで正確に近似している。

3. 最終的な答え

$1.4142136$