与えられた周期的な波形 $f(t)$ のフーリエ級数を求めよ。この波形は周期 $T$ を持ち、0から$T/2$の間は1、$T/2$から$T$の間は-3の値を取る。

1. 問題の内容

与えられた周期的な波形 $f(t)$ のフーリエ級数を求めよ。この波形は周期 $T$ を持ち、0から$T/2$の間は1、$T/2$から$T$の間は-3の値を取る。

2. 解き方の手順

フーリエ級数は一般的に次のように表される。

$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)]$

ここで、$\omega = \frac{2\pi}{T}$ は角周波数であり、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数である。これらの係数は次のように計算される。

$a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt$

$a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n\omega t) dt$

$b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n\omega t) dt$

まず、$a_0$を計算する。

$a_0 = \frac{2}{T} \left[ \int_{0}^{T/2} 1 dt + \int_{T/2}^{T} (-3) dt \right] = \frac{2}{T} \left[ \frac{T}{2} - 3\frac{T}{2} \right] = \frac{2}{T} (-T) = -2$

次に、$a_n$を計算する。

$a_n = \frac{2}{T} \left[ \int_{0}^{T/2} \cos(n\omega t) dt + \int_{T/2}^{T} (-3) \cos(n\omega t) dt \right]$

$a_n = \frac{2}{T} \left[ \frac{1}{n\omega} \sin(n\omega t)\Big|_{0}^{T/2} - \frac{3}{n\omega} \sin(n\omega t)\Big|_{T/2}^{T} \right]$

ここで、$\omega = \frac{2\pi}{T}$ なので、$n\omega T = 2n\pi$。

$a_n = \frac{2}{T} \frac{1}{n\omega} \left[ \sin(n\omega \frac{T}{2}) - 3(\sin(n\omega T) - \sin(n\omega \frac{T}{2})) \right]$

$a_n = \frac{2}{T} \frac{T}{2n\pi} \left[ \sin(n\pi) - 3(\sin(2n\pi) - \sin(n\pi)) \right]$

$a_n = \frac{1}{n\pi} \left[ \sin(n\pi) - 3(0 - \sin(n\pi)) \right] = \frac{1}{n\pi} \left[ \sin(n\pi) + 3\sin(n\pi) \right] = \frac{4\sin(n\pi)}{n\pi}$

$n$が整数のとき、$\sin(n\pi) = 0$ なので、$a_n = 0$ （ただし、$n=0$を除く。$a_0$は別途計算済み）。

最後に、$b_n$を計算する。

$b_n = \frac{2}{T} \left[ \int_{0}^{T/2} \sin(n\omega t) dt + \int_{T/2}^{T} (-3) \sin(n\omega t) dt \right]$

$b_n = \frac{2}{T} \left[ -\frac{1}{n\omega} \cos(n\omega t)\Big|_{0}^{T/2} + \frac{3}{n\omega} \cos(n\omega t)\Big|_{T/2}^{T} \right]$

$b_n = \frac{2}{T} \frac{1}{n\omega} \left[ -\cos(n\omega \frac{T}{2}) + \cos(0) + 3(\cos(n\omega T) - \cos(n\omega \frac{T}{2})) \right]$

$b_n = \frac{2}{T} \frac{T}{2n\pi} \left[ -\cos(n\pi) + 1 + 3(\cos(2n\pi) - \cos(n\pi)) \right]$

$b_n = \frac{1}{n\pi} \left[ -\cos(n\pi) + 1 + 3(1 - \cos(n\pi)) \right] = \frac{1}{n\pi} \left[ 4 - 4\cos(n\pi) \right] = \frac{4(1 - \cos(n\pi))}{n\pi}$

したがって、$b_n = \frac{4(1 - (-1)^n)}{n\pi}$

フーリエ級数は、

$f(t) = \frac{-2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(1 - (-1)^n)}{n\pi} \sin(n\omega t) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(1 - (-1)^n)}{n\pi} \sin(\frac{2n\pi}{T}t)$

3. 最終的な答え

$f(t) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(1 - (-1)^n)}{n\pi} \sin(\frac{2n\pi}{T}t)$