与えられた関数に対して、微分を求めよ。関数は以下の通りです。 (l) $y = \cos^3 x$ (m) $y = \sin^2 3x$ (n) $y = x^2 \tan 3x$ (o) $y = \frac{\sin 3x}{x+1}$ (p) $y = \sec(3x+2)$ (q) $y = \tan x \sec x$

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、微分を求めよ。関数は以下の通りです。

(l) $y = \cos^3 x$

(m) $y = \sin^2 3x$

(n) $y = x^2 \tan 3x$

(o) $y = \frac{\sin 3x}{x+1}$

(p) $y = \sec(3x+2)$

(q) $y = \tan x \sec x$

2. 解き方の手順

(l) $y = \cos^3 x$

連鎖律を用いる。$y = u^3$, $u = \cos x$と置くと、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$となる。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3(\cos x)^2 (-\sin x) = -3 \cos^2 x \sin x$

(m) $y = \sin^2 3x$

連鎖律を用いる。$y = u^2$, $u = \sin 3x$と置くと、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$となる。

$\frac{dy}{du} = 2u$

$u = \sin 3x$の微分はさらに連鎖律を用いて、 $u = \sin v$, $v = 3x$と置くと、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \frac{dv}{dx}$となる。

$\frac{du}{dv} = \cos v$

$\frac{dv}{dx} = 3$

$\frac{du}{dx} = 3 \cos 3x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2 \sin 3x (3 \cos 3x) = 6 \sin 3x \cos 3x = 3 \sin 6x$

(n) $y = x^2 \tan 3x$

積の微分法と連鎖律を用いる。

$\frac{dy}{dx} = (x^2)' \tan 3x + x^2 (\tan 3x)'$

$(x^2)' = 2x$

$(\tan 3x)'$は連鎖律を用いて、$u=3x$と置くと、$\frac{d}{dx} \tan u = \frac{d}{du} \tan u \frac{du}{dx} = \sec^2 u \cdot 3 = 3 \sec^2 3x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2x \tan 3x + 3x^2 \sec^2 3x$

(o) $y = \frac{\sin 3x}{x+1}$

商の微分法と連鎖律を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\sin 3x)'(x+1) - (\sin 3x)(x+1)'}{(x+1)^2}$

$(\sin 3x)' = 3 \cos 3x$

$(x+1)' = 1$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3 \cos 3x (x+1) - \sin 3x}{(x+1)^2}$

(p) $y = \sec(3x+2)$

連鎖律を用いる。$u = 3x+2$と置くと、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$となる。

$\frac{dy}{du} = \sec u \tan u$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3 \sec(3x+2) \tan(3x+2)$

(q) $y = \tan x \sec x$

積の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = (\tan x)' \sec x + \tan x (\sec x)'$

$(\tan x)' = \sec^2 x$

$(\sec x)' = \sec x \tan x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \sec^2 x \sec x + \tan x (\sec x \tan x) = \sec^3 x + \sec x \tan^2 x$

3. 最終的な答え

(l) $y' = -3 \cos^2 x \sin x$

(m) $y' = 3 \sin 6x$

(n) $y' = 2x \tan 3x + 3x^2 \sec^2 3x$

(o) $y' = \frac{3(x+1) \cos 3x - \sin 3x}{(x+1)^2}$

(p) $y' = 3 \sec(3x+2) \tan(3x+2)$

(q) $y' = \sec^3 x + \sec x \tan^2 x$