与えられた関数 $y$ に対して、その導関数 $y'$ を求める問題です。関数は以下の通りです。 (e) $y = \cos \sqrt{x}$ (f) $y = \sin \frac{1}{x+1}$ (g) $y = \tan 4x$ (h) $y = \tan (4 - 2x)$ (i) $y = \cot 2x^2$ (j) $y = \cot (2x + 1)$ (k) $y = \tan \frac{1}{x}$

はい、承知しました。与えられた関数の微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ に対して、その導関数 $y'$ を求める問題です。関数は以下の通りです。

(e) $y = \cos \sqrt{x}$

(f) $y = \sin \frac{1}{x+1}$

(g) $y = \tan 4x$

(h) $y = \tan (4 - 2x)$

(i) $y = \cot 2x^2$

(j) $y = \cot (2x + 1)$

(k) $y = \tan \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(e) $y = \cos \sqrt{x}$

合成関数の微分を行います。$\sqrt{x}$ の微分は $\frac{1}{2\sqrt{x}}$、$\cos u$ の微分は $-\sin u$ であることを利用します。

$y' = -\sin \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(f) $y = \sin \frac{1}{x+1}$

同様に合成関数の微分を行います。$\frac{1}{x+1}$ の微分は $-\frac{1}{(x+1)^2}$、$\sin u$ の微分は $\cos u$ であることを利用します。

$y' = \cos \frac{1}{x+1} \cdot \left( -\frac{1}{(x+1)^2} \right)$

(g) $y = \tan 4x$

$\tan u$ の微分は $\frac{1}{\cos^2 u}$ （または $\sec^2 u$）であり、$4x$ の微分は $4$ であることを利用します。

$y' = \frac{1}{\cos^2 4x} \cdot 4 = 4 \sec^2 4x$

(h) $y = \tan (4 - 2x)$

同様に、$\tan u$ の微分は $\frac{1}{\cos^2 u}$ であり、$4-2x$ の微分は $-2$ であることを利用します。

$y' = \frac{1}{\cos^2 (4 - 2x)} \cdot (-2) = -2 \sec^2 (4 - 2x)$

(i) $y = \cot 2x^2$

$\cot u$ の微分は $-\frac{1}{\sin^2 u}$ （または $-\csc^2 u$）であり、$2x^2$ の微分は $4x$ であることを利用します。

$y' = -\frac{1}{\sin^2 2x^2} \cdot 4x = -4x \csc^2 2x^2$

(j) $y = \cot (2x + 1)$

$\cot u$ の微分は $-\frac{1}{\sin^2 u}$ であり、$2x+1$ の微分は $2$ であることを利用します。

$y' = -\frac{1}{\sin^2 (2x + 1)} \cdot 2 = -2 \csc^2 (2x + 1)$

(k) $y = \tan \frac{1}{x}$

$\tan u$ の微分は $\frac{1}{\cos^2 u}$ であり、$\frac{1}{x}$ の微分は $-\frac{1}{x^2}$ であることを利用します。

$y' = \frac{1}{\cos^2 \frac{1}{x}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{1}{x^2} \sec^2 \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

(e) $y' = -\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

(f) $y' = -\frac{\cos \frac{1}{x+1}}{(x+1)^2}$

(g) $y' = 4 \sec^2 4x$

(h) $y' = -2 \sec^2 (4 - 2x)$

(i) $y' = -4x \csc^2 2x^2$

(j) $y' = -2 \csc^2 (2x + 1)$

(k) $y' = -\frac{1}{x^2} \sec^2 \frac{1}{x}$