与えられた関数 $y = \frac{1}{(x^2 + 1)^3}$ の導関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{(x^2 + 1)^3}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を以下のように書き換えます。

$y = (x^2 + 1)^{-3}$

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = x^2 + 1$ と置くと、$y = u^{-3}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -3u^{-4}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -3u^{-4} \cdot 2x$

$u$ を元に戻すと、

$\frac{dy}{dx} = -3(x^2 + 1)^{-4} \cdot 2x$

$\frac{dy}{dx} = -6x(x^2 + 1)^{-4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-6x}{(x^2 + 1)^4}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-6x}{(x^2 + 1)^4}$