与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

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\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x}

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2. 解き方の手順

この極限を計算するために、ロピタルの定理を使用します。$x \to 0$のとき、$a^x - b^x \to 1 - 1 = 0$ であり、$x \to 0$であるため、$0/0$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

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\frac{d}{dx}(a^x - b^x) = a^x \ln a - b^x \ln b

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分母の微分:

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\frac{d}{dx}(x) = 1

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ロピタルの定理より、

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\lim_{x \to 0} \frac{a^x - b^x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a^x \ln a - b^x \ln b}{1}

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$x \to 0$ の極限を取ると、$a^x \to 1$、$b^x \to 1$ となるため、

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\lim_{x \to 0} (a^x \ln a - b^x \ln b) = \ln a - \ln b

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対数の性質を用いて、

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\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}

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3. 最終的な答え

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\ln \frac{a}{b}

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