与えられた不定積分を計算します。

はい、承知いたしました。画像に写っている積分の問題をいくつか解きます。積分定数は $C$ とします。

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

各問題について、以下のように手順を説明します。

(2) $\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$

$\frac{1}{2}$を積分の外に出すと、

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \frac{1}{2}\int x^{-\frac{1}{2}}dx$

$x^{-\frac{1}{2}}$を積分すると、

$\frac{1}{2} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = x^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{x} + C$

(4) $\int (2^{-x} - e^x)dx$

$2^{-x}$は $(2^{-x})' = -2^{-x}\ln 2$なので、$\int 2^{-x}dx = -\frac{2^{-x}}{\ln 2}$

$\int e^xdx = e^x$

したがって、

$\int (2^{-x} - e^x)dx = -\frac{2^{-x}}{\ln 2} - e^x + C$

(5) $\int \frac{1-2\sin^2 x}{\cos^2 x}dx$

$1-2\sin^2 x = \cos 2x$なので、

$\int \frac{1-2\sin^2 x}{\cos^2 x}dx = \int \frac{\cos 2x}{\cos^2 x}dx$

被積分関数を分解します。$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$より、

$\cos^2 x = \frac{\cos 2x + 1}{2}$

$\int \frac{\cos 2x}{\cos^2 x}dx = \int \frac{\cos 2x}{\frac{\cos 2x + 1}{2}}dx = 2\int \frac{\cos 2x}{\cos 2x + 1}dx$

ここで、$\cos 2x + 1 = u$とおくと、$-2\sin 2x dx = du$となりますが、うまくいきません。

$\frac{1}{\cos^2x} - 2 \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \sec^2x - 2\tan^2x = \sec^2x - 2(\sec^2x - 1) = 2 - \sec^2 x$.

$\int \frac{1-2\sin^2 x}{\cos^2 x}dx = \int (2-\sec^2x)dx = 2x - \tan x + C$

(7) $\int \frac{1}{4x-3}dx$

$4x-3 = u$とおくと、$4dx = du$より、$dx = \frac{1}{4}du$

$\int \frac{1}{4x-3}dx = \int \frac{1}{u}\frac{1}{4}du = \frac{1}{4}\int \frac{1}{u}du = \frac{1}{4}\ln |u| + C = \frac{1}{4}\ln |4x-3| + C$

(8) $\int e^{1-2x}dx$

$u = 1-2x$とおくと、$du = -2dx$より、$dx = -\frac{1}{2}du$

$\int e^{1-2x}dx = \int e^u (-\frac{1}{2})du = -\frac{1}{2}\int e^udu = -\frac{1}{2}e^u + C = -\frac{1}{2}e^{1-2x} + C$

(9) $\int \cos(1-2x)dx$

$u = 1-2x$とおくと、$du = -2dx$より、$dx = -\frac{1}{2}du$

$\int \cos(1-2x)dx = \int \cos(u) (-\frac{1}{2})du = -\frac{1}{2}\int \cos u du = -\frac{1}{2}\sin u + C = -\frac{1}{2}\sin(1-2x) + C$

3. 最終的な答え

(2) $\sqrt{x} + C$

(4) $-\frac{2^{-x}}{\ln 2} - e^x + C$

(5) $2x - \tan x + C$

(7) $\frac{1}{4}\ln |4x-3| + C$

(8) $-\frac{1}{2}e^{1-2x} + C$

(9) $-\frac{1}{2}\sin(1-2x) + C$