## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた2つの微分方程式を解きます。

1. $y(1+x^2) \frac{dy}{dx} = x$

2. $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2-y^2}{xy}$

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2. 解き方の手順

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1. $y(1+x^2) \frac{dy}{dx} = x$ の場合

1. 変数分離を行います。

$y \, dy = \frac{x}{1+x^2} dx$

2. 両辺を積分します。

$\int y \, dy = \int \frac{x}{1+x^2} dx$

3. 左辺の積分は $\frac{y^2}{2}$ です。

$\int y \, dy = \frac{y^2}{2} + C_1$

4. 右辺の積分を行います。$u = 1+x^2$ と置換すると、$du = 2x \, dx$ より、$x \, dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C_2$

5. 積分結果をまとめます。

$\frac{y^2}{2} = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$ （$C = C_2 - C_1$）

6. $y^2$ について解きます。

$y^2 = \ln(1+x^2) + 2C$

$y = \pm \sqrt{\ln(1+x^2) + 2C}$

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2. $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2-y^2}{xy}$ の場合

1. 同次形微分方程式であるため、$y = vx$ と置換します。すると $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ となります。

2. 与えられた微分方程式に代入します。

$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x^2 - (vx)^2}{x(vx)} = \frac{2x^2 - v^2x^2}{vx^2} = \frac{2 - v^2}{v}$

3. $x \frac{dv}{dx}$ について解きます。

$x \frac{dv}{dx} = \frac{2 - v^2}{v} - v = \frac{2 - v^2 - v^2}{v} = \frac{2 - 2v^2}{v}$

4. 変数分離を行います。

$\frac{v}{2 - 2v^2} dv = \frac{1}{x} dx$

5. 両辺を積分します。

$\int \frac{v}{2 - 2v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$

6. 左辺の積分を行います。$u = 2 - 2v^2$ と置換すると、$du = -4v \, dv$ より、$v \, dv = -\frac{1}{4} du$ となります。

$\int \frac{v}{2 - 2v^2} dv = \int \frac{1}{u} (-\frac{1}{4}) du = -\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{4} \ln |u| + C_1 = -\frac{1}{4} \ln |2 - 2v^2| + C_1$

7. 右辺の積分は $\ln |x| + C_2$ です。

$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_2$

8. 積分結果をまとめます。

$-\frac{1}{4} \ln |2 - 2v^2| = \ln |x| + C$ （$C = C_2 - C_1$）

9. 式を整理します。

$\ln |2 - 2v^2| = -4 \ln |x| - 4C$

$\ln |2 - 2v^2| = \ln |x^{-4}| - 4C$

$|2 - 2v^2| = e^{-4C} |x^{-4}|$

$2 - 2v^2 = A x^{-4}$ ($A = \pm e^{-4C}$ は定数)

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0. $v = \frac{y}{x}$ を代入します。

$2 - 2\left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{A}{x^4}$

$2 - 2\frac{y^2}{x^2} = \frac{A}{x^4}$

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1. $y^2$ について解きます。

$2 - \frac{A}{x^4} = 2\frac{y^2}{x^2}$

$y^2 = x^2 - \frac{A}{2x^2}$

$y = \pm \sqrt{x^2 - \frac{A}{2x^2}}$

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3. 最終的な答え

1. $y = \pm \sqrt{\ln(1+x^2) + 2C}$

2. $y = \pm \sqrt{x^2 - \frac{A}{2x^2}}$ (Aは任意定数)