数列 $\{(2x)^n\}$ が収束するための $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

数列 $\{(2x)^n\}$ が収束するための $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める。

2. 解き方の手順

数列 $\{r^n\}$ が収束するための条件は $-1 < r \leq 1$ です。したがって、この問題では $r = 2x$ となります。

まず、$-1 < 2x \leq 1$ を解きます。

$-1 < 2x$ より $x > -\frac{1}{2}$

$2x \leq 1$ より $x \leq \frac{1}{2}$

よって、 $-\frac{1}{2} < x \leq \frac{1}{2}$ となります。

次に、極限値を求めます。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$2x = 1$ となり、$\lim_{n \to \infty} (2x)^n = \lim_{n \to \infty} 1^n = 1$ となります。

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき、$-1 < 2x < 1$ となり、$\lim_{n \to \infty} (2x)^n = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x$ の値の範囲: $-\frac{1}{2} < x \leq \frac{1}{2}$

極限値:

- $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき、0

- $x = \frac{1}{2}$ のとき、1