与えられた6つの数列の極限を求める問題です。各数列は $n$ を自然数として、ある定数の $n$ 乗の形で表されています。

1. 問題の内容

与えられた6つの数列の極限を求める問題です。各数列は $n$ を自然数として、ある定数の $n$ 乗の形で表されています。

2. 解き方の手順

一般に、数列 $\{r^n\}$ の極限は、定数 $r$ の値によって以下のように決まります。

* $|r| < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$

* $r = 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 1$

* $r > 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$

* $r = -1$ のとき、$r^n$ は振動し、極限は存在しません。

* $r < -1$ のとき、$r^n$ は振動し、極限は存在しません。

上記の性質を用いて、各数列の極限を求めます。

(1) $r = \frac{1}{3}$ より、 $|r| < 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3})^n = 0$

(2) $r = \frac{4}{3}$ より、 $r > 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3})^n = \infty$

(3) $r = -\frac{3}{4}$ より、 $|r| < 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (-\frac{3}{4})^n = 0$

(4) $r = -3$ より、 $r < -1$ なので、極限は存在しません（振動）。

(5) $r = \sqrt{2} - 1$ より、$1 < \sqrt{2} < 2$ なので $0 < \sqrt{2} - 1 < 1$ つまり $|r| < 1$ となる。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{2} - 1)^n = 0$

(6) $r = \frac{1}{1-\sqrt{2}}$ より、$r = \frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = -(1+\sqrt{2}) = -1-\sqrt{2}$

$r < -1$ より、極限は存在しません（振動）。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3})^n = 0$

(2) $\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3})^n = \infty$

(3) $\lim_{n \to \infty} (-\frac{3}{4})^n = 0$

(4) 極限は存在しない（振動）

(5) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{2} - 1)^n = 0$

(6) 極限は存在しない（振動）